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2016年全国高中数学联赛湖南赛区预赛试题

适用年级:高三试卷类型:竞赛试题总数:16浏览次数:27上传日期:2018/12/5
一、单选题
1 . 设集合,在集合上定义运算“”:,其中,被4除的余数,.则满足关系的个数为(    )
A.1B.2C.3D.4
难度系数:0.64使用:914次题型:单选题更新:2010/4/7
2 . 一个色子由1~6六个数字组成,根据图所示三种状态显示的数字,可推得“?”的数字为(    ).
A.6B.3C.1D.2
难度系数:0.85使用:712次题型:单选题更新:2014/12/2
3 . 设函数是公差为的等差数列,.则(    )
A.0B.C.D.
难度系数:0.4使用:5次题型:单选题更新:2018/12/5
4 . 给定平面向量(1,1).则平面向量是将向量(1,1)经过(   )变换得到的.
A.顺时针旋转60°
B.顺时针旋转120°
C.逆时针旋转60°
D.逆时针旋转120°
难度系数:0.65使用:5次题型:单选题更新:2018/12/5
5 . 设为非零实数,为虚数单位,.则方程与方程在同一复平面内的图形(为焦点)为(    ).
A.B.C.D.
难度系数:0.65使用:6次题型:单选题更新:2018/12/5
6 . 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手各比赛一场,但有三名选手各比赛两场之后就退出了,这样全部比赛只进行了50场. 则上述三名选手之间比赛的场数为(    )
A.0B.1C.2D.3
难度系数:0.85使用:208次题型:单选题更新:2016/7/5
二、填空题
7 . 规定:对于,当且仅当时,. 则的解集为______.
难度系数:0.65使用:114次题型:填空题更新:2018/10/15
8 . 在三棱锥中,. 则三棱锥的体积的最大值为______.
难度系数:0.65使用:6次题型:填空题更新:2018/12/5
9 . 在一个均有小正方体的六个面中,三个面上标数字0,两个面上标数字1,一个面上标数字2. 将该小正方体抛掷两次,则朝上的数之积的数学期望为______.
难度系数:0.85使用:592次题型:填空题更新:2012/8/15
10 . 观察下列等式:




……
由以上等式推测出一般的结论:对于______.
难度系数:0.65使用:5次题型:填空题更新:2018/12/5
11 . 方程的解集为______.
难度系数:0.65使用:5次题型:填空题更新:2018/12/5
12 . 当一个非空数集满足条件“若,则,且当时,”时,称为一个数域. 以下四个关于数域的命题:
①0为任何数域的元素;
②若数域有非零元素,则
③集合为数域;
④有理数集为数域.
其中,真命题的编号为______(写出所有真命题的编号).
难度系数:0.65使用:5次题型:填空题更新:2018/12/5
三、解答题
13 . 设椭圆经过点,离心率为,直线经过椭圆的右焦点,与椭圆交于点在直线上的射影依次为.
(1)求椭圆的方程.
(2)联结,当直线的倾斜角变化时,直线是否交于定点?若是,求出定点的坐标并给予证明;否则,说明理由.
难度系数:0.4使用:7次题型:解答题更新:2018/12/5
14 . 在正方形中,为边上一点(点与顶点不重合). 延长,与的延长线交于点. 设的内切圆半径分别为.
(1)证明:,并指出点在什么位置时,等号成立;
(2)若,证明:.
难度系数:0.4使用:5次题型:解答题更新:2018/12/5
15 . 已知函数.
(1)当时,求函数的所有零点;
(2)若有两个极值点,证明:.
难度系数:0.4使用:5次题型:解答题更新:2018/12/5
16 . 已知互异的正实数满足.
证明:从中任取三个数作为边长,共可构成四个不同的三角形.
难度系数:0.15使用:5次题型:解答题更新:2018/12/5
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