21. 计算
的最为稀奇的方法之一,要数18世纪法国的博物学家
·蒲丰和他的投针实验:在一个平面上,用尺画一组相距为
的平行线,一根长度为
的针,扔到画了平行线的平面上,如果针与线相交,则该次扔出被认为是有利的,否则是不利的.如图①,记针的中点为
,设
到平行线的最短距离为
,针与平行线所成角度为
,容易发现随机情况下满足
,且针与线相交时需
.
(1)数学兴趣小组的同学利用随机模拟的方法,投针实验.记实验次数为
,其中有利次数为
.
(i)结合图②,利用几何概型计算一次实验结果有利的概率值
;
(ii)求出该实验中
的估计值;
(2)若投针实验进行了
次,以
表示有利次数,试求
的期望(用
表示),并求当
的估计值与实际值误差小于
的概率.
附:
参考数值:
,
.
(3)某校数学兴趣小组有
名学生,学校安排周二或周五的第
节课在数学实验室开展上机实验.由于数学实验室只有
台电脑可供使用,周二、周五数学兴趣小组都有
名学生一人一机实验,假设学生相互独立地随机上机.设
表示参加周二或周五上机实验的人数,当
为多少时,其概率最大.