已知
是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项
，在中都存在一项
，使
；
②对于中任意项
，在中都存在两项
．使得
．
(Ⅰ)若
，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若
，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
是无穷数列．给出两个性质：①对于
中任意两项，在中都存在一项，使；②对于
中任意项，在中都存在两项．使得．(Ⅰ)若
，判断数列是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若
，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若
是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
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更新时间：2020-07-09 20:00:20
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【知识点】 数列新定义
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】设
，若存在
，使得
，且对任意
，均有
（即
是一个公差为
的等差数列），则称数列
是一个长度为
的“弱等差数列”.
（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.
①1，3，5，7，9，11；
②2，
，
，
，
.
（2）证明：若
，则数列
为“弱等差数列”.
（3）对任意给定的正整数
，若
，是否总存在正整数
，使得等比数列：
是一个长度为的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由
，若存在，使得，且对任意，均有（即是一个公差为的等差数列），则称数列是一个长度为的“弱等差数列”.（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.
①1，3，5，7，9，11；
②2，
，，，.（2）证明：若
，则数列为“弱等差数列”.（3）对任意给定的正整数
，若，是否总存在正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐2】记集合
无穷数列
中存在有限项不为零，
，对任意
，设变换
，
．定义运算
：若
，则
，
．
(1)若
，用
表示
；
(2)证明：
；
(3)若
，
，
，证明：
．
无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．(1)若
，用表示；(2)证明：
；(3)若
，，，证明：．
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满足：①任意
，有
；②任意x，
，有
或
，则称数集
.
和
是否具有性质
且
具有性质
时，求证：
，
，…，
是等差数列；
的最大值.
