【推荐1】已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于A，B两点，且点A的坐标为，点Р是椭圆上异于A，B的任意一点，点Q满足，，且A，B，Q三点不共线．
（1）求椭圆的方程；
（2）求点Q的轨迹方程．

【推荐2】已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；
(2)设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积．

【推荐3】平面直角坐标系内有三定点，，.是曲线上任意一点，若满足恒成立.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，过点且与直线垂直的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，A₁，A₂分别是椭圆的左、右顶点，M，N是C₁上关于x轴对称的两点，直线A₁M和A₂N交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F（－2，0）的直线l与曲线C交于x轴上方的A，B两点，若D是线段AB的中点，E是线段AB上一点，且，记直线OD和OE的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁k₂为定值．

【推荐2】如图，椭圆与一等轴双曲线相交，是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点，，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为、和、.

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）（i）证明：；
（ii）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知双曲线C:的左右顶点分别是且经过点，双曲线的右焦点到渐近线的距离是，不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P、Q两点（异于），P关于原点O的对称点为S.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）若直线与直线相交于点T，直线OT与直线PQ相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得的面积为定值，并求出该定值.

【推荐1】已知是虚数， 是实数．
（1）求为何值时， 有最小值，并求出|的最小值；
（2）设，求证： 为纯虚数．

【推荐2】定义：复数是（）转置复数，记为，显然，即与互为转置复数.
（1）共轭复数的一些运算性质如等，还有一些常用结论，如等，尝试发现两个有关转置复数的运算性质（如：）或其他结论；
（2）对任意的两个复数、，定义运算“”：，设（），求复平面上的点集所围成区域的面积.