【推荐1】在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为__________.

【推荐2】向量集合，对于任意、，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②集合是“凸集；
③若、都是“凸集”，则也一定是“凸集”；
④若、都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”；
⑤若集合是“凸集”，则一定不是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是__．

【推荐3】在中，E为的中点，是线段BE上的动点，若，则的最小值为______.

【推荐1】已知不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为________.

【推荐2】函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“平方弯曲度”，给出以下命题：
①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“平方弯曲度”为常数；
③设点，是抛物线上不同的两点，则；
④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，则的最大值为.
其中真命题的序号为__________（将所有真命题的序号都填上）

【推荐3】若，互为对立事件，其概率分别为，，且，，则的最小值为_______