【推荐1】的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.

【推荐2】如图，已知，，，圆是以为圆心半径为1的圆，圆是以为圆心的圆．设点，分别为圆，圆上的动点，且，则的取值范围是______．

【推荐3】如图，正方形的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域，其中，，记，的长度之和为．则的最大值为___________．

【推荐1】如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点旋转了角，其中为小正六边形的中心，则_________.

【推荐2】某单位科技活动纪念章的结构如图所示，是半径分别为，的两个同心圆的圆心，等腰的顶点在外圆上，底边的两个端点都在内圆上，点，在直线的同侧.若线段与劣弧所围成的弓形面积为，与的面积之和为，设.经研究发现当的值最大时，纪念章最美观，则当纪念章最美观时，的值为______.

【推荐1】在数列中，给定，且函数的导函数有唯一的零点，则______；设函数且，则______．

【推荐2】如图，要在一块半径为6．圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为_________，此时_________．

【推荐3】在中，已知如，则的最大值是________．

【推荐1】已知中角，，所对的边为，，，，，点在上，，记的面积为，的面积为，，则______．

【推荐2】已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，与BC交于点D，M是AD的中点，延长BM交AC于点H，，，则___________，___________.

【推荐3】拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知内接于半径为的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为.若，则的面积最大值为____________.