【推荐1】如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有个不同的点使得成立．那么的取值范围是__________．

【推荐2】已知平面向量满足，，，且，求的最小值为______．

【推荐3】意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点A处的切线，曲线在点B处的切线相交于点P，且为钝角三角形，则实数m的取值范围为__________.

【推荐1】已知平面向量满足：，则的最大值是___________.

【推荐2】已知是正六边形边上任意一点，且，则__________.

【推荐3】在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是________.