已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，设
，
.
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）若
，，求实数
的最小值；
（Ⅲ）当
时，给出一个新数列
，其中
，设这个新数列的前项和为
，若可以写成
（
，
且
，
）的形式，则称为“指数型和”.问
中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
的前项和为，且满足，，设，.（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；（Ⅱ）若
，，求实数的最小值；（Ⅲ）当
时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
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（已下线）专题10 数列通项公式的求法 微点1 观察法（不完全归纳法）、公式法上海市2022届高三模拟(三)数学试题2020届上海市高三高考压轴卷数学试题上海市浦东新区建平中学2019-2020学年高三下学期（4月）模拟数学试题北京市陈经纶中学2019-2020学年第一学期高二数学期中试题2015届北京市东城区高三5月综合练习二理科数学试卷
更新时间：2020-03-24 15:30:28
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】已知数列
具有性质
：对任意
，
，
与
两数至少有一个属于
．
（Ⅰ）分别判断数集
与
是否具有性质，并说明理由．
（Ⅱ）求证：
．
（Ⅲ）求证：
．
具有性质：对任意，，与两数至少有一个属于．（Ⅰ）分别判断数集
与是否具有性质，并说明理由．（Ⅱ）求证：
．（Ⅲ）求证：
．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】设数列满足
，其中
，且
，
为常数.
（1）若是等差数列，且公差
，求的值；
（2）若
，且存在
，使得
对任意的
都成立，求
的最小值；
（3）若
，且数列不是常数列，如果存在正整数
，使得
对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值.
满足，其中，且，为常数.（1）若
是等差数列，且公差，求的值；（2）若
，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若
，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值.
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（其中
）
．
【推荐1】定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到阶和数列，如
的一阶和数列是
，设n阶和数列各项和为．
(1)试求数列的二阶和数列各项和
与三阶和数列各项和
，并猜想
的通项公式（无需证明）；
(2)设
，的前项和
，若
，求的最小值
阶和数列，如的一阶和数列是，设n阶和数列各项和为．(1)试求数列
的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；(2)设
，的前项和，若，求的最小值
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【推荐2】已知定义域为
的函数
满足如下条件：①对任意的
，总有
；②
；③当
，
，
时，
恒成立．已知正项数列满足
，且
，
，令
(1)求数列，的通项公式；
(2)若
，求证：
（
）．
的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立．已知正项数列满足，且，，令(1)求数列
，的通项公式；(2)若
，求证：（）．
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，
，初值条件
．令
，即
，令此方程的两个根为
、
，若
，则有
（其中
），若
，则有
（其中
）.
的值，且对于
，都有
（其中
、
、
均为常数，且
，
，
），那么，可作特征方程
.
，则
，
，则
，
，
使
时，无穷数列
、
（称作特征根）时，则
，
，
）.
解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐1】已知数列的前项和
，且
.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知定理：“若函数在区间
上是凹函数，
，且
存在，则有
”．若且函数
在
上是凹函数，试判断
与
的大小；
（3）求证：
.
的前项和，且.（1）求数列
的通项公式；（2）已知定理：“若函数
在区间上是凹函数，，且存在，则有”．若且函数在上是凹函数，试判断与的大小；（3）求证：
.
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐2】设数列的前项和为，，且
，
，
．
(1)若
．
（ i ）求
；
（ ii）求证数列成等差数列．
(2)若数列为递增数列，且
，试求满足条件的所有正整数
的值．
的前项和为，，且，，．(1)若
．（ i ）求
；（ ii）求证数列
成等差数列．(2)若数列
为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值．
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，
成立.
，问：数列
中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
【推荐1】设
是正整数，如果存在非负整数
使得
，则称是
好数，否则称是坏数．例如：
，所以2是
好数．
(1)分别判断
是否为
好数；
(2)若是偶数且是好数，求证：是
好数，且
是好数；
(3)求最少的
坏数．
是正整数，如果存在非负整数使得，则称是好数，否则称是坏数．例如：，所以2是好数．(1)分别判断
是否为好数；(2)若
是偶数且是好数，求证：是好数，且是好数；(3)求最少的
坏数．
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【推荐2】设
为实数，定义
生成数列
和其特征数列
如下：
（i）
；
（ii）
，其中
.
(1)直接写出
生成数列的前4项；
(2)判断以下三个命题的真假并说明理由；
①对任意实数
，都有
；
②对任意实数，都有
；
③存在自然数
和正整数
，对任意自然数
，有
，其中
为常数.
(3)从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为原数列的一个无穷递增子列.求证：对任意正实数
生成数列存在无穷递增子列.
为实数，定义生成数列和其特征数列如下：（i）
；（ii）
，其中.(1)直接写出
生成数列的前4项；(2)判断以下三个命题的真假并说明理由；
①对任意实数
，都有；②对任意实数
，都有；③存在自然数
和正整数，对任意自然数，有，其中为常数.(3)从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为原数列的一个无穷递增子列.求证：对任意正实数
生成数列存在无穷递增子列.
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，…，
，其中
.令
，
，
，
，
.这里，
表示括号中各数的最大值，
表示括号中各数的最小值.
，
的值；
，求
的等差数列，数列
是数列
的所有可能值（用
