名校
1 . 已知向量
，
，函数
．
(1)求
的值；
(2)当
时，方程
有解，求实数m的取值范围；
(3)是否存在正实数a，使不等式
对所有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
，，函数．(1)求
的值；(2)当
时，方程有解，求实数m的取值范围；(3)是否存在正实数a，使不等式
对所有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
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7日内更新
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512次组卷
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2卷引用：重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期定时检测（一）（3月月考）数学试题
2 . 已知数列
的前
项和为
，若数列满足：①数列项数有限为
；②
；③
，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列
为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
(2)若等差数列
为“
阶可控摇摆数列”，且
，求数列的通项公式；
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在
，使得
，探究：数列
能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列
为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；(2)若等差数列
为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；(3)已知数列
为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
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7日内更新
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487次组卷
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3卷引用：吉林省白山市2024届高三第二次模拟考试数学试题
3 . 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，
，
分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量
，则把有序数对
叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标.
，求
；
(2)已知
，
，求
；
(3)若
，
，
与
的夹角记为
，求的余弦值.
，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标.
，求；(2)已知
，，求；(3)若
，，与的夹角记为，求的余弦值.
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4 . 若一个两位正整数
的个位数为4，则称为“好数”，若
，且
，
为正整数，则称数对
为“友好数对”，规定：
，例如
，称数对
为“友好数对”，
，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的
的最大值为________ ．
的个位数为4，则称为“好数”，若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为
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5 . 已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，且，与短轴的一个端点
构成一个等腰直角三角形，点
在椭圆
，过点作互相垂直且与
轴不重合的两直线
，
分别交椭圆于
，
和点
，
，且点
，分别是弦，的中点．的标准方程；
(2)若
，求以为直径的圆的方程；
(3)直线
是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．
的标准方程；(2)若
，求以为直径的圆的方程；(3)直线
是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
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解题方法
6 . 已知抛物线C：
，过点
的直线l交抛物线于P､Q两点，以OP､OQ为邻边作平行四边形OPRQ.
(1)求点R的轨迹方程.
(2)是否存在l，使四边形OPRQ为正方形？证明你的结论.
，过点的直线l交抛物线于P､Q两点，以OP､OQ为邻边作平行四边形OPRQ.(1)求点R的轨迹方程.
(2)是否存在l，使四边形OPRQ为正方形？证明你的结论.
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7 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为，，为上顶点，离心率为
，直线
与圆
相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作直线
与椭圆交于
两点，
（i）若
，求
面积的取值范围；
（ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点
，使四边形
为菱形？若存在，求
，若不存在，请说明理由.
的左、右焦点分别为，，为上顶点，离心率为，直线与圆相切.(1)求椭圆
的标准方程；(2)过
作直线与椭圆交于两点，（i）若
，求面积的取值范围；（ii）若
斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由.
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解题方法
8 . 已知等比数列
的前n项和为，且
，其中
.
(1)求数列的通项公式；
(2)在
与
之间插入n个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在不同三项
，
，
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
的前n项和为，且，其中.(1)求数列
的通项公式；(2)在
与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
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9 . 对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称X具有性质P．
(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若
，且集合
具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且
，q为常数且
，求证：
．
，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．(2)若
，且集合具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，且
，q为常数且，求证：．
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解题方法
10 . 设连续函数
的定义域为
，如果对于内任意两数
，都有
，则称为上的凹函数；若
，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的
，有琴生不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）.
(1)证明：
在
上为凹函数；
(2)设
，且
，求
的最小值；
(3)设
为大于或等于1的实数，证明：
.（提示：可设
）
的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.(1)证明：
在上为凹函数；(2)设
，且，求的最小值；(3)设
为大于或等于1的实数，证明：.（提示：可设）
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