1 . 指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知
为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集
，定义集合的指示函数
若
，则（ ）
注：
表示
中所有元素
所对应的函数值
之和（其中是定义域的子集）.
为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（ ）注：
表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）.A． |
B． |
C． |
D． |
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2 . 已知集合
，对于
，
，定义A与B的差为
，A与B之间的距离为
.
(1)直接写出
中元素的个数，并证明：任意
，有
；
(2)证明：任意
，有
是偶数；
(3)证明：
，有
.
，对于，，定义A与B的差为，A与B之间的距离为.(1)直接写出
中元素的个数，并证明：任意，有；(2)证明：任意
，有是偶数；(3)证明：
，有.
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3 . 已知集合
，其中
都是
的子集且互不相同，记
的元素个数，
的元素个数
.
(1)若
，直接写出所有满足条件的集合
；
(2)若
，且对任意
，都有
，求
的最大值；
(3)若
且对任意，都有
，求的最大值.
，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.(1)若
，直接写出所有满足条件的集合；(2)若
，且对任意，都有，求的最大值；(3)若
且对任意，都有，求的最大值.
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2024-04-18更新
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409次组卷
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2卷引用：北京市北师大附属实验中学2024届高三下学期3月零模数学试题
名校
4 . 科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为
，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若
（
，
），则k的值为（ ）
，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）| A．11 | B．15 | C．19 | D．21 |
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2024-04-16更新
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495次组卷
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2卷引用：2024届安徽省示范高中皖北协作区高三下学期数学联考试题
名校
解题方法
5 . 数学上，常用
表示不大于x的最大整数．已知函数
，则下列正确的是（ ）．
表示不大于x的最大整数．已知函数，则下列正确的是（ ）．| A．函数在定义域上是奇函数 | B．函数的零点有无数个 |
C．函数在定义域上的值域是 | D．不等式 解集是 |
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6 . 设集合、
为正整数集
的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
.则称集合为集合的“
集”.
(1)若集合
，求
的“集”
；(2)若三元集
存在“集”
，且中恰含有4个元素，求证：
；(3)若
存在“集”，且
，求
的最大值.
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2024高三·全国·专题练习
7 . 某食品的保鲜时间
（单位：小时）与储藏温度（单位：
满足函数关系
为自然对数的底数，
为常数）．若该食品在
的保鲜时间是192小时，在
的保鲜时间是48小时，则该食品在
的保鲜时间是__ 小时．
（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是
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解题方法
8 . 对于定义在区间
上的两个函数
和
，如果对任意的
，均有不等式
成立，则称函数与在
上是“友好”的，否则称为“不友好”的．
(1)若
，
，则与在区间
上是否“友好”；
(2)现在有两个函数
与
，给定区间
．
①若与在区间上都有意义，求
的取值范围；
②讨论函数与与在区间上是否“友好”．
上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的．(1)若
，，则与在区间上是否“友好”；(2)现在有两个函数
与，给定区间．①若
与在区间上都有意义，求的取值范围；②讨论函数
与与在区间上是否“友好”．
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解题方法
9 . 临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数
和
，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为
，如果对于内任意两数
，都有
，则称
为上的凹函数；若
，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的
,有不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数
和对数函数
，研究函数的凹凸性.
(1)设
，求W=
的最小值.
(2)设
为大于或等于1的实数，证明
（提示：可设
）
(3)若a>1，且当
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围.
和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.(1)设
，求W=的最小值.(2)设
为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）(3)若a>1，且当
时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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2024-03-06更新
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247次组卷
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2卷引用：山东省临沂第一中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题
名校
10 . 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速
（单位：
）可以表示为
，其中
表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为
时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为
时耗氧量的单位数为（ ）
（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（ ）| A．100 | B．900 | C．1200 | D．8100 |
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2024-03-04更新
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412次组卷
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5卷引用：河北省承德市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
