解题方法
1 . 已知数列
是有无穷项的等差数列，
，公差
，若满足条件：①
是数列的项；②对任意的正整数
，都存在正整数
，使得
.则满足这样的数列的个数是______ 种.
是有无穷项的等差数列，，公差，若满足条件：①是数列的项；②对任意的正整数，都存在正整数，使得.则满足这样的数列的个数是
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解题方法
2 . 对任意两个非零的平面向量
和
，定义：
，
．若平面向量
满足
，且
和
都在集合
中，则
（ ）
和，定义：，．若平面向量满足，且和都在集合中，则（ ）| A．1 | B． | C．1或 | D．1或 |
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3 . 
表示正整数a，b的最大公约数，若
，且
，
，则将k的最大值记为
，例如：
，
.
(1)求
，
，
；
(2)已知
时，
.
（i）求
；
（ii）设
，数列
的前n项和为
，证明：
.
表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.(1)求
，，；(2)已知
时，.（i）求
；（ii）设
，数列的前n项和为，证明：.
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7日内更新
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1197次组卷
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5卷引用：福建省泉州市2024届高三质量监测（三）数学试题
4 . 已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合
．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项
，使得
，则称数列具有性质
，记集合
数列具有性质
．
(1)若数列的通项公式为
写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当
时，证明：
；
(3)若满足
，证明：
．
是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质．(1)若数列
的通项公式为写出集合A与集合B；(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当
时，证明：；(3)若
满足，证明：．
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5 . 对于数列
，定义“T变换”：T将数列A变换成数列
，其中
，且
．这种“T变换”记作
，继续对数列B进行“T变换”，得到数列
，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列：
(2)若
不全相等，判断数列
不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；
(3)设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．
，定义“T变换”：T将数列A变换成数列，其中，且．这种“T变换”记作，继续对数列B进行“T变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列：
(2)若
不全相等，判断数列不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．
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6 . 已知数列
的前
项和为
，若数列满足：①数列项数有限为
；②
；③
，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列
为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
(2)若等差数列
为“
阶可控摇摆数列”，且
，求数列的通项公式；
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在
，使得
，探究：数列
能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列
为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；(2)若等差数列
为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；(3)已知数列
为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
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2024-04-16更新
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575次组卷
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3卷引用：吉林省白山市2024届高三第二次模拟考试数学试题
名校
7 . 在数列中，若存在常数
，使得
（
）恒成立，则称数列为“
数列”．
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“
数列”；
(2)若
，试判断数列
是否为“数列”，请说明理由；
(3)若数列为“数列”，且
，数列
为等比数列，满足
求数列的通项公式和的值．
中，若存在常数，使得（）恒成立，则称数列为“数列”．(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“
数列”；(2)若
，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；(3)若数列
为“数列”，且，数列为等比数列，满足求数列的通项公式和的值．
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8 . 约数，又称因数．定义如下：若整数
除以整数
除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为
的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记作
，
，
，
，
．
(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当
时，若
，
，，
构成等比数列，求与满足的关系式（用和表示）；
(3)记
，求证：
．
除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记作，，，，．(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；(2)当
时，若，，，构成等比数列，求与满足的关系式（用和表示）；(3)记
，求证：．
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24-25高一上·全国·课后作业
9 . 如图，设正方形的边长为
，请你利用
写出一个含有
的不等式，与熟悉的不等式比较，并与同学交流．
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）
