1 . 已知曲线
，
是坐标原点， 过点
的直线
与曲线
交于
，
两点.
(1)当与
轴垂直时，求
的面积；
(2)过圆
上任意一点
作直线
，
，分别与曲线切于
，
两 点，求证：
；
的直线
与双曲线
交于
，
两点（，不与轴重合）.记直线
的斜率为
，直线
斜率为
， 当
时，求证：
与
都是定值.
，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点.(1)当
与轴垂直时，求的面积；(2)过圆
上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；
的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.
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2 . 已知椭圆
的右焦点为
，长轴长为
.过F作斜率为
的直线交E于A，B两点，过点F作斜率为
的直线交E于C，D两点，设
，
的中点分别为M，N.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若
，设点F到直线
的距离为d，求d的取值范围.
的右焦点为，长轴长为.过F作斜率为的直线交E于A，B两点，过点F作斜率为的直线交E于C，D两点，设，的中点分别为M，N.(1)求椭圆E的方程；
(2)若
，设点F到直线的距离为d，求d的取值范围.
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3 . 已知椭圆：
（
）的左焦点为
，上顶点为，
的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，
，且的面积为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若
的平分线经过点，求面积的最大值.
：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积为.(1)求椭圆
的方程；(2)若
的平分线经过点，求面积的最大值.
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4 . 已知椭圆
的焦距为
，点
在椭圆
上，动直线
与椭圆相交于不同的两点
，且直线
的斜率之积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线
为的法向量为
，求直线的方程；
(3)是否存在直线，使得
为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.(1)求椭圆
的标准方程；(2)若直线
为的法向量为，求直线的方程；(3)是否存在直线
，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
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5 . 如图，已知椭圆
经过点
，离心率
．的标准方程；
(2)椭圆上任意点
轴上一点
，若
的最小值为
，求实数
的取值范围；
(3)设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线
相交于点，记
的斜率分别为
，求证:
成等差数列.
经过点，离心率．
的标准方程；(2)椭圆
上任意点轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围；(3)设
是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为，求证:成等差数列.
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2024高三·全国·专题练习
6 . 已知O为坐标原点，抛物线
，过点
的直线交抛物线于A，B两点，
．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点
，连接AD，BD，证明：
；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求
面积的最小值．
，过点的直线交抛物线于A，B两点，．(1)求抛物线C的方程；
(2)若点
，连接AD，BD，证明：；(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求
面积的最小值．
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7 . 已知椭圆的短轴长为，离心率
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，直线是圆
的一条切线，且直线与椭圆交于
两点，若平行四边形
的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.
的短轴长为，离心率.(1)求椭圆
的方程；(2)设
为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.
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8 . 如图，在棱长为1的正方体
中，为平面
内一动点，则（ ）
中，为平面内一动点，则（ ）
A．若在线段上，则 的最小值为 |
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为 |
C．若 与所成的角为 ，则点的轨迹为椭圆 |
D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线 所成角为 |
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9 . 已知椭圆
的左右顶点为A，B，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作斜率为
的直线与椭圆交于点，过作l的平行线与椭圆交于P，Q两点，与线段BM交于点
，若
，求
．
的左右顶点为A，B，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点(1)求椭圆的标准方程；
(2)过
作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l的平行线与椭圆交于P，Q两点，与线段BM交于点，若，求．
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10 . 我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中
是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线
（
，
）的左右焦点分别为
，
，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．
当
，
，且直线
的倾斜角为
时，求反射光线
所在的直线方程；
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且
三点共线，经双曲线反射后过点，
，
，延长
，
分别交两条渐近线于
，点是
的中点，求证：
为定值．
(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点
，当四边形
的面积为8时，求的方程．
是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．
当
，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；(2)从
处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．(3)在（2）的条件下，延长
交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．
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