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解题方法
1 . 依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，
表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，
表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，
表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）| A．与为对立事件 | B． 与为相互独立事件 |
C． 与为相互独立事件 | D．与为互斥事件 |
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解题方法
2 . 在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为
．
(1)求
，
；
(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有
，试确定a，b，c的值，并证明上述递推公式；
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
．(1)求
，；(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有
，试确定a，b，c的值，并证明上述递推公式；(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
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3 . 某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（
且
）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用
表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（
且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用
表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
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解题方法
4 . 已知函数
，
．
(1)证明：
；
(2)若随机变量X可取值为
，
，且
，2，
，n，
，
为X的数学期望．
证明：①
；
②
．
，．(1)证明：
；(2)若随机变量X可取值为
，，且，2，，n，，为X的数学期望．证明：①
；②
．
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5 . 甲、乙两人进行知识问答比赛，共有
道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为
和
，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.
(1)若
，
，求甲获胜的概率；
(2)若
，设甲第
题的得分为随机变量
，一次比赛中得到的一组观测值
，如下表.现利用统计方法来估计的值：
①设随机变量
，若以观测值的均值
作为
的数学期望，请以此求出的估计值
；
②设随机变量取到观测值的概率为
，即
；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值
作为参数的一个估计值.求.
表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量
，
的期望
，
都存在，则
.
道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.(1)若
，，求甲获胜的概率；(2)若
，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值：①设随机变量
，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值；②设随机变量
取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.| 题目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 得分 | 1 | 0 | 0 | ﹣1 | 1 | 1 | ﹣1 | 0 | 0 | 0 |
| 题目 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 得分 | ﹣1 | 0 | 1 | 1 | ﹣1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
附：若随机变量
，的期望，都存在，则.
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312次组卷
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2卷引用：浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三二模数学试题
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解题方法
6 . 在
的展开式中（其中
，
，，
叫做三项式系数），当
，2，3，，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
的展开式中，
的系数为75，求实数a的值；
(2)求
的值（用组合数作答）．
的展开式中（其中，，，叫做三项式系数），当，2，3，，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
的展开式中，的系数为75，求实数a的值；(2)求
的值（用组合数作答）．
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2024·全国·模拟预测
7 . 甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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8 . 已知有
两个盒子，其中
盒装有3个黑球和3个白球，
盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______ ．
两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是
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1135次组卷
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3卷引用：湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题
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解题方法
9 . 已知集合满足
，则下列说法正确的是（ ）
满足，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则中的元素的个数为1 |
B．若 ，则中的元素的个数为15 |
C．若 ，则中的元素的个数为45 |
D．若 ，则中的元素的个数为78 |
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187次组卷
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2卷引用：河北省保定市保定部分高中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
10 . 已知
，则
的值为___________ ．
，则的值为
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