1 . 甲、乙两人分别进行投硬币和掷图钉试验，每人各进行100次试验．设
为前k次试验中硬币正面向上的次数，
为前k次试验中图钉针尖朝下的次数，记
．
(1)若
，问是否存在常数P，不论试验过程中
如何变化，均存在某个
，使得
？若存在，求出所有P的可能值；若不存在，请说明理由；
(2)若
，问是否存在常数Q，不论试验过程中
如何变化，均存在某个，使得
？若存在，求出所有Q的可能值；若不存在，请说明理由．
为前k次试验中硬币正面向上的次数，为前k次试验中图钉针尖朝下的次数，记．(1)若
，问是否存在常数P，不论试验过程中如何变化，均存在某个，使得？若存在，求出所有P的可能值；若不存在，请说明理由；(2)若
，问是否存在常数Q，不论试验过程中如何变化，均存在某个，使得？若存在，求出所有Q的可能值；若不存在，请说明理由．
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2 . 在
方格表的每个小方格中填入
中的一个数，要求
，第
行和第列各自的三个数之和均要不小于
，则所有可能的填法总数是（ ）
方格表的每个小方格中填入中的一个数，要求，第行和第列各自的三个数之和均要不小于，则所有可能的填法总数是（ ）| A．1335 | B．2147 | C．685 | D．716 |
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3 . 对给定自然数n≥2，求满足下列条件的最大的N：无论怎样将
填人一个n×n的方格表，总存在同一行或同一列的两个数，它们的差不小于N．
填人一个n×n的方格表，总存在同一行或同一列的两个数，它们的差不小于N．
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4 . 在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人．在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友．证明：数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幂（即形如
，其中，
是某个正整数）．
，其中，是某个正整数）．
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5 . 某公司印制了一批文化衫，每件文化衫可有红、黄、蓝三种不同的颜色和四种不同的图案.现将这批文化衫分发给
名新员工，每名员工恰好分到图案不同的4件.试求的最小值，使得总存在两个人，他们所分到的某两种图案的4件文化衫的颜色全部相同.
名新员工，每名员工恰好分到图案不同的4件.试求的最小值，使得总存在两个人，他们所分到的某两种图案的4件文化衫的颜色全部相同.
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6 . 甲乙两人作游戏，甲先在纸上任意写下一个由L、R构成的长为的序列，然后乙将个质量互不相同的砝码逐一放在天平上，每放一个砝码(已放的砝码不再拿下)，乙都在纸上按顺序写一个字母：如果天平倾向左边则写L，否则写R．当所有砝码都放在天平上时，乙也写下一个由L、R构成的长为的序列．规定：当乙写的序列与甲写的序列相同时乙胜，否则甲胜．试问：谁有必胜策略?
的序列，然后乙将个质量互不相同的砝码逐一放在天平上，每放一个砝码(已放的砝码不再拿下)，乙都在纸上按顺序写一个字母：如果天平倾向左边则写L，否则写R．当所有砝码都放在天平上时，乙也写下一个由L、R构成的长为的序列．规定：当乙写的序列与甲写的序列相同时乙胜，否则甲胜．试问：谁有必胜策略?
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7 . 从圆周的九等分点中，任取五点染为红色．证明：存在以红点为顶点的不同的六个三角形
，满足
，
，
．
，满足，，．
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8 . 使得三个数
、
、
是某个直角三角形的三条边的长度的二元有序整数对
的个数是.
、、是某个直角三角形的三条边的长度的二元有序整数对的个数是.| A．0 | B．1 |
| C．2 | D．3 |
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9 . 试问:能否把2008表示成
的形式?如果可以,这种表示方式是否有无限多个?其中,m、n均为大于100且小于170的正整数,且
;
均为两两不相等的小于6的正有理数,且
均为大于1且小于5的正整数,同时, 两两不相等,
也两两不相等请说明理由.
的形式?如果可以,这种表示方式是否有无限多个?其中,m、n均为大于100且小于170的正整数,且;均为两两不相等的小于6的正有理数,且均为大于1且小于5的正整数,同时, 两两不相等,也两两不相等请说明理由.
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10 . 以任意方式把空间染成五种颜色(每点属于一色,每色的点都有).
(1)证明:存在一个平面,至少含有四种不同颜色的点;
(2)是否一定存在五色平面?
(1)证明:存在一个平面,至少含有四种不同颜色的点;
(2)是否一定存在五色平面?
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