2024高三上·全国·专题练习
解题方法
1 . 已知
，
，
(1)若
在
处取得极值，试求
的值和的单调增区间；
(2)如图所示，若函数
的图象在
连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在
，使得
，利用这条性质证明：函数
图象上任意两点的连线斜率不小于
．
，，(1)若
在处取得极值，试求的值和的单调增区间；(2)如图所示，若函数
的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．
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2023高三·全国·专题练习
解题方法
2 . 用拉格朗日中值定理证明不等式：
．
．
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2023高三·全国·专题练习
3 . 设
证明：存在
使得同余方程
在模
的意义下至少有
个根．（请对比拉格朗日定理）．
证明：存在使得同余方程在模的意义下至少有个根．（请对比拉格朗日定理）．
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2023高三·全国·专题练习
4 . 证明：
．
．
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2023高三·全国·专题练习
5 . 试证明对函数
应用拉格朗日中值定理时所求得的点
总是位于区间的正中间．
应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间．
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2023高三·全国·专题练习
6 . 已知函数
在区间
上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的．
在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的．
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7 . 对于正整数n，记
与
的最大公因子为
，若
，则称n是奇异的．证明：若n是奇异的，则
也是奇异的．
与的最大公因子为，若，则称n是奇异的．证明：若n是奇异的，则也是奇异的．
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8 . 证明：存在无穷多个奇数n，使得
是合数．
是合数．
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9 . 设
是一个大于1的正整数，
是素数，
.
(1)证明：
或
；
(2)若
是不同于的素数，则
恰有个不同的解（即模互不同余）.
是一个大于1的正整数，是素数，.(1)证明：
或；(2)若
是不同于的素数，则恰有个不同的解（即模互不同余）.
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10 . 求具有如下性质的质数的最大值：存在1,2，
，的两个排列（可以相同）
与
，使
被除所得的余数互不相同.
的最大值：存在1,2，，的两个排列（可以相同）与，使被除所得的余数互不相同.
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