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1 . “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？若一个数
被
除余
，我们可以写作
．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数
，
，…，
两两互质，则对任意的整数：
，
，…，
方程组
一定有解，并且通解为
，其中
为任意整数，
，
，
为整数，且满足
．
(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第
个满足条件的正整数；
(2)在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．（提示：可以用首尾进行相加）．
被除余，我们可以写作．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数，，…，两两互质，则对任意的整数：，，…，方程组一定有解，并且通解为，其中为任意整数，，，为整数，且满足．(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第
个满足条件的正整数；(2)在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．（提示：可以用首尾进行相加）．
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2024-02-23更新
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619次组卷
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4卷引用：云南省昆明市第一中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题
云南省昆明市第一中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期开学考试数学试题（已下线）压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式）练贵州省毕节市金沙县部分学校2024届高三下学期高考模拟（六）数学试题
2 . 证明：对任意正整数，存在个连续正整数，它们中每一个数都不是素数的幂．
，存在个连续正整数，它们中每一个数都不是素数的幂．
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2023高三·全国·专题练习
3 . 解同余方程组
．
．
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2023高三·全国·专题练习
4 . 设
证明：存在
使得同余方程
在模的意义下至少有个根．（请对比拉格朗日定理）．
证明：存在使得同余方程在模的意义下至少有个根．（请对比拉格朗日定理）．
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5 . 求所有的正整数，使得
为完全平方数．
，使得为完全平方数．
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2023高三·全国·专题练习
6 . （1）求证：是正奇数时，
能被
整除．
（2）是自然数，它不能被
整除，求证：
与
中有且只有一个数被整除．
是正奇数时，能被整除．（2）
是自然数，它不能被整除，求证：与中有且只有一个数被整除．
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7 . 如果正整数n满足存在正整数a、b、c使得
，则称n为好数．求证：存在连续2020个正整数这2020个正整数都是好数．
注：对于正整数x，y，
表示x，y的最大公因数．
，则称n为好数．求证：存在连续2020个正整数这2020个正整数都是好数．注：对于正整数x，y，
表示x，y的最大公因数．
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8 . 设
.证明：存在
,使得同余方程
至少有个根.
.证明：存在,使得同余方程至少有个根.
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9 . 试求所有的正整数，满足存在一个整数，使得
是
的一个因数．
，满足存在一个整数，使得是的一个因数．
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