1 . 给定一个正99边形,将1,2,,99放入99边形的99个顶点处,若两种放置方法在旋转之后可以重合,则称这两种方法是同一个.称交换某两个相邻顶点上的数为一次操作,求最小的使得至多次操作可以将一种放置方法变为任意另外一种放置方法.
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2023-12-15更新
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103次组卷
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2卷引用:2023年第39届全国中学生冬令营(CMO)数学试题
2 . A,B,C,D,E,F六名同学进行乒乓球赛,每两个人都要比赛1局.若A,B,C,D,E已经 过的局数分别为1,2,3,4,5,则F已经赛过的局数为( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
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3 . 若存在n边形可分成有限个平行四边形,则n的可能取值包括( )
A.大于等于4的偶数 | B.大于等于5的奇数 |
C.大于等于4的整数 | D.以上答案均不正确 |
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4 . 平面上有一个阶完全图,对其边进行三染色,且每种颜色至少染一条边.现假设在完全图中至多选出k条边,且把这k条边的颜色全部变为给定三色中的某种颜色后,此图同时也可以被该种颜色的边连通.若无论初始如何染色,都可以达到目的,求k的最小值.
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5 . 设V是空间中2019个点构成的集合,其中任意四点不共面某些点之间连有线段,记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n,满足条件:若E至少有n个元素,则E一定含有908个二元子集,其中每个二元子集中的两条线段有公共端点,且任意两个二元子集的交为空集.
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6 . 设X是平面上n个点的集合,对X中的每一个点A,在X中恰有3个点与A的距离为1,则n的最小值为( ).
A.4 | B.5 | C.6 | D.7 |
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7 . 一个简单图中两两相邻的t个顶点称为一个团,与其余每个顶点均相邻的顶点称为中心点.给定整数及满足的整数k,一个n阶简单图G中不存在k+1团,其全部k团记为.
(1)证明:;
(2)若在图G中再添加一条边就存在k+1团,求图G的中心点个数的最小值.
(1)证明:;
(2)若在图G中再添加一条边就存在k+1团,求图G的中心点个数的最小值.
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8 . 某国有53座城市,任意两座城市之间要么有一条双向公路直达,要么没有直接相连的公路.已知这53座城市之间共有312条公路,并且由任何一座城市出发通过公路均能到达其余各城市.每一座城市至多向其余12座城市引出公路,且每走一条公路需要缴纳10元路费.现甲在城市A,且身上仅有120元.甲是否一定能到达任意一座城市?证明你的结论.
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9 . 设是平面上由个点组成的点集.若在中任取四个点,均至少有一个点与其余三个点相连,则下面结论中正确的是______ .
①中不存在与其他所有点相连的点;
②中至少有一个点与其余所有的点均相连;
③中至多有两个点与其余的点不相连;
④中至多有两个点与其余所有的点均相连.
①中不存在与其他所有点相连的点;
②中至少有一个点与其余所有的点均相连;
③中至多有两个点与其余的点不相连;
④中至多有两个点与其余所有的点均相连.
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10 . 在一次数学竞赛中,某些选手是朋友关系.记所有选手的集合为X,对集合X的子集Y,若可以将这些人两两分组,且每组中两名选手均是朋友关系,则称子集Y“可两两分组”.已知集合X不可两两分组,且对于任意选手,若A、B不是朋友关系,则可两两分组,且X中没有一个人与其他所有人均为朋友关系证明:对任意选手,若a、b为朋友关系,b、c为朋友关系,则a、c也为朋友关系
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