1 . 已知半径为1的圆上有2022个点,求证:至少存在一个凸337边形,它的面积小于.(,)
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2 . 在一次数学竞赛中,某些选手是朋友关系.记所有选手的集合为X,对集合X的子集Y,若可以将这些人两两分组,且每组中两名选手均是朋友关系,则称子集Y“可两两分组”.已知集合X不可两两分组,且对于任意选手,若A、B不是朋友关系,则可两两分组,且X中没有一个人与其他所有人均为朋友关系证明:对任意选手,若a、b为朋友关系,b、c为朋友关系,则a、c也为朋友关系
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3 . 集合,对于正整数m,集合S的任一m元子集中必有一个数为另外m-1个数乘积的约数.则m的最小可能值为__________ .
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4 . 有2012位学者参加某数学会议,他们中有些人相互认识,且满足:
(1)每个人至少认识其中的671个人;
(2)对于其中任意两个人、,若、相互不认识,则总可以通过其他人间接认识,即存在,使得认识,认识,认识;
(3)不可以将2012位学者排成一排,使得相邻的两个人相互认识.
证明:可以将2012位学者分成两组,其中一组能够排成一圈,使得相邻的人相互认识,另一组任何两个人不认识.
(1)每个人至少认识其中的671个人;
(2)对于其中任意两个人、,若、相互不认识,则总可以通过其他人间接认识,即存在,使得认识,认识,认识;
(3)不可以将2012位学者排成一排,使得相邻的两个人相互认识.
证明:可以将2012位学者分成两组,其中一组能够排成一圈,使得相邻的人相互认识,另一组任何两个人不认识.
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5 . 已知数列满足,,,.
(1)是否存在正整数,使得对任意的,有?
(2)设,问:是否为有理数?说明理由.
(1)是否存在正整数,使得对任意的,有?
(2)设,问:是否为有理数?说明理由.
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6 . 求的最大值,使得平面上有个点,其中任意三点中必存在两点间距离为1.
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7 . 考虑的方格表,其中每个方格内均填有数字0.每次操作可先选定三个实数、、,然后选定一行,将这一行每个方格中的数都加上(为该方格所在的列数,);或选定一列,将这一列每个方格中的数都加上(为该方格所在的行数,),问:能否经过有限次操作,使该方格表中四个角的数字变成1,而其他格的数字仍为0?
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8 . 将棋盘的每个方格都随意染黑白两色之一,每次操作是将其中同行、同列、同对角线的连续五个方格改变成相反的颜色.试问:能否经过有限次操作,使得所有方格的颜色都变成与原先相反的颜色?
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9 . 将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一行,从左至右依次对应序号1,2,…,8.若同色球之间不加区分,则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列共有______ 种.
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