1 . 已知函数的导函数为,定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设,则在区间上的“新驻点”为__________ .
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2 . 已知函数.
(1)若时,函数有2个不同的零点,求的取值范围;
(2)已知为函数的导函数,在上有极小值0,对于某点,在点的切线方程为,若对于,都有,则称为好点.
①求的值;
②求所有的好点.
(1)若时,函数有2个不同的零点,求的取值范围;
(2)已知为函数的导函数,在上有极小值0,对于某点,在点的切线方程为,若对于,都有,则称为好点.
①求的值;
②求所有的好点.
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3 . ①在微积分中,求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则,法则中有结论:若函数,的导函数分别为,,且,则
.
②设,k是大于1的正整数,若函数满足:对任意,均有成立,且,则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息,回答下列问题:
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数;
(2)计算:;
(3)证明:,.
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②设,k是大于1的正整数,若函数满足:对任意,均有成立,且,则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息,回答下列问题:
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数;
(2)计算:;
(3)证明:,.
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4 . 定义函数的曲率函数(是的导函数),函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数,曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径,则下列说法正确的是( )
A.若曲线在各点处的曲率均不为0,则曲率越大,曲率圆越小 |
B.函数在处的曲率半径为1 |
C.若圆为函数的一个曲率圆,则圆半径的最小值为2 |
D.若曲线在处的弯曲程度相同,则 |
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5 . 一般地,设函数在区间上连续,用分点将区间分成个小区间,每个小区间长度为,在每个小区间上任取一点,作和式.如果无限接近于0(亦即)时,上述和式无限趋近于常数,那么称该常数为函数在区间上的定积分,记为.当时,定积分的几何意义表示由曲线,两直线与轴所围成的曲边梯形的面积.如果是区间上的连续函数,并且,那么.
(1)求;
(2)设函数.
①若恒成立,求实数的取值范围;
②数列满足,利用定积分几何意义,证明:.
(1)求;
(2)设函数.
①若恒成立,求实数的取值范围;
②数列满足,利用定积分几何意义,证明:.
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6 . 有一种速度叫“中国速度”,“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知.由于地形等原因,在修建高铁、公路、桥隧等基建中,我们常用曲线的曲率(Curvature)来刻画路线弯曲度.如图所示的光滑曲线上的曲线段AB,设其弧长为,曲线在A,B两点处的切线分别为,记的夹角为,定义为曲线段的平均曲率,定义为曲线在其上一点处的曲率.(其中为的导函数,为的导函数)
(1)若,求;
(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为.
①求的值;
②设函数,若方程有两个不相等的实数根,证明:,其中为自然对数的底数,.
(1)若,求;
(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为.
①求的值;
②设函数,若方程有两个不相等的实数根,证明:,其中为自然对数的底数,.
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解题方法
7 . 记,为的导函数.若对,,则称函数为D上的“凸函数”.已知函数,.
(1)若函数为上的凸函数,求a的取值范围;
(2)若函数在上有极值,求a的取值范围.
(1)若函数为上的凸函数,求a的取值范围;
(2)若函数在上有极值,求a的取值范围.
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8 . 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一,其定理陈述如下:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,则在区间内至少存在一个点,使得称为函数在闭区间上的中值点.若关于函数在区间上的“中值点”的个数为,函数在区间上的“中值点”的个数为,则有( )(参考数据:.)
A.1 | B.2 | C.0 | D.3 |
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9 . 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若是的导函数,是的导函数,则曲线在点处的曲率.
(1)求曲线在点处的曲率的值;
(2)求正弦曲线曲率的最大值.
(1)求曲线在点处的曲率的值;
(2)求正弦曲线曲率的最大值.
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10 . 英国数学家泰勒发现了如下公式:其中,为自然对数的底数,.以上公式称为泰勒公式.设,,根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题.
(1)证明:;
(2)设,证明:;
(1)证明:;
(2)设,证明:;
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