解题方法
1 . 已知函数
，
．
(1)判断函数
的单调性，并利用定义证明；
(2)若
，求实数
的取值范围．
，．(1)判断函数
的单调性，并利用定义证明；(2)若
，求实数的取值范围．
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解题方法
2 . 设函数
．
的图象；
(2)若的最大值为，正实数
满足
，求
的最小值．
．
的图象；(2)若
的最大值为，正实数满足，求的最小值．
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解题方法
3 . 已知函数
，且的最小值为．
(1)求的值；
(2)若为正数，且满足
．证明：
．
，且的最小值为．(1)求
的值；(2)若
为正数，且满足．证明：．
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4 . 对于函数
，
，若存在
，使得
，则称
为函数
的一阶不动点；若存在，使得
，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的
阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为
和
，即
，
．
(1)若
，证明：集合中有且仅有一个元素；
(2)若
，讨论集合的子集的个数．
，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，．(1)若
，证明：集合中有且仅有一个元素；(2)若
，讨论集合的子集的个数．
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5 . 已知幂函数
为奇函数，且在区间
上是严格减函数.
(1)求函数
的表达式；
(2)对任意实数
，不等式
恒成立，求实数t的取值范围.
为奇函数，且在区间上是严格减函数.(1)求函数
的表达式；(2)对任意实数
，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
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6 . 设集合
是一个非空数集，对任意
，定义
，称
为集合的一个度量，称集合为一个对于度量而言的度量空间，该度量空间记为
.
定义1：若
是度量空间上的一个函数，且存在
，使得对任意，均有：
，则称
是度量空间上的一个“压缩函数”.
定义2：记无穷数列
为
，若是度量空间上的数列，且对任意正实数
，都存在一个正整数
，使得对任意正整数
，均有
，则称是度量空间上的一个“基本数列”.
(1)设
，证明：是度量空间
上的一个“压缩函数”；
(2)已知
是度量空间
上的一个压缩函数，且
，定义
，
，证明：为度量空间上的一个“基本数列”.
是一个非空数集，对任意，定义，称为集合的一个度量，称集合为一个对于度量而言的度量空间，该度量空间记为.定义1：若
是度量空间上的一个函数，且存在，使得对任意，均有：，则称是度量空间上的一个“压缩函数”.定义2：记无穷数列
为，若是度量空间上的数列，且对任意正实数，都存在一个正整数，使得对任意正整数，均有，则称是度量空间上的一个“基本数列”.(1)设
，证明：是度量空间上的一个“压缩函数”；(2)已知
是度量空间上的一个压缩函数，且，定义，，证明：为度量空间上的一个“基本数列”.
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7 . 如图，在边长为1的正三角形ABC中，O为中心，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N，
内部一点（不包括边界），求
的取值范围；
(2)若
，求AN的值；
(3)求
的最大值与最小值.
内部一点（不包括边界），求的取值范围；(2)若
，求AN的值；(3)求
的最大值与最小值.
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解题方法
8 . 已知函数
，
.
(1)求
，
的值并直接写出的最小正周期；
(2)求的最大值并写出取得最大值时x的集合；
(3)定义
，
，求函数
的最小值.
，.(1)求
，的值并直接写出的最小正周期；(2)求
的最大值并写出取得最大值时x的集合；(3)定义
，，求函数的最小值.
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解题方法
9 . 已知函数
是定义域上的奇函数．
(1)求实数
的值；
(2)求函数的值域；
(3)若关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围．
是定义域上的奇函数．(1)求实数
的值；(2)求函数
的值域；(3)若关于
的不等式在上有解，求实数的取值范围．
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解题方法
10 . 如图，已知
是边长为
的正方形
的中心，质点
从点出发沿
方向，同时质点
也从点出发沿
方向在该正方形上运动，直至它们首次相遇为止．已知质点的速度为
，质点的速度为
．
表示为时间
（单位：
）的函数______；
(2)求的最小值．
是边长为的正方形的中心，质点从点出发沿方向，同时质点也从点出发沿方向在该正方形上运动，直至它们首次相遇为止．已知质点的速度为，质点的速度为．
表示为时间（单位：）的函数______；(2)求
的最小值．
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