1 . 设
为正整数
的各数位上的数字的平方和，例如
．记
，则
______ ．
为正整数的各数位上的数字的平方和，例如．记，则
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2 . 阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如果函数
在区间
上连续，用分点
将区间等分成个小区间，在每个小区间
上任取一点
，作和式
（其中
为小区间长度），当
时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作
即
.这里，
与
分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，
叫做积分变量，
叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有
，那么定积分表示由直线
和曲线
所围成的曲边梯形的面积.知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且
，那么
.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
(1)用定积分表示曲线
及
所围成的图形的面积，并确定
取何值时，使所围图形的面积最小；
(2)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度
（单位：
）紧急刹车至停止.求：
①求火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率（即4秒时的瞬时加速度）；
②紧急刹车后至停止火车运行的路程.
在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.(1)用定积分表示曲线
及所围成的图形的面积，并确定取何值时，使所围图形的面积最小；(2)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度
（单位：）紧急刹车至停止.求：①求火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率（即4秒时的瞬时加速度）；
②紧急刹车后至停止火车运行的路程.
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3 . 某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为
；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为
．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏检率
时，求临界值和错检率；
(2)设函数
，当
时，求
的解析式，并求在区间
的最小值．
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值
，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏检率
时，求临界值和错检率；(2)设函数
，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
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解题方法
4 . 已知函数
的定义域为
，若存在常数
，使得对任意的
，都有
，则称函数具有性质
(1)若函数具有性质
，求：
的值；
(2)设
，求证：存在常数，使得具有性质；
(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数
在存在零点.
的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质(1)若函数
具有性质，求：的值；(2)设
，求证：存在常数，使得具有性质；(3)若函数
具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在存在零点.
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解题方法
5 . 对于任意实数a，b，定义
设函数
，
，则函数
的最小值为______ ．
设函数，，则函数的最小值为
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6 . 
，
表示不超过的最大整数，我们把
，
称为取整函数，以下选项关于“取整函数”正确的是（ ）
，表示不超过的最大整数，我们把，称为取整函数，以下选项关于“取整函数”正确的是（ ）A． ， |
B．， |
C． ， |
D． ， ，则 |
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解题方法
7 . 已知函数
(1)请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；
(2)定义函数
在定义域内的
，若满足
，则称为函数
的一阶不动点，简称不动点；若满足
，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点.
①求函数的不动点；
②求函数的稳定点.
(1)请在网格纸中画出
的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；(2)定义函数
在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点.①求函数
的不动点；②求函数
的稳定点.
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8 . 取整函数：表示不超过的最大整数，如
，
，
，则（ ）
表示不超过的最大整数，如，，，则（ ）A． ， | B．若 , ，，则 |
C． ，， | D． ， |
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2023-12-05更新
|
188次组卷
|
2卷引用：河北省名校强基联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题
名校
解题方法
9 . 若存在实数M，使得
在
和
的定义域的交集上恒成立，则称与具有“
近似关系”，下列说法正确的是（ ）
在和的定义域的交集上恒成立，则称与具有“近似关系”，下列说法正确的是（ ）A． ， 具有“2近似关系” |
B． ， 具有“2近似关系” |
C． 与 具有“1近似关系” |
D．与 定义域相同，且具有“1近似关系”，则的值域包含于 |
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10 . 设函数
，则称函数
为的“
”界函数，若给定函数
，
，则下列结论成立的是（ ）
，则称函数为的“”界函数，若给定函数，，则下列结论成立的是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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