1 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，数列满足，
①求证：；
②求证：．

2 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

3 . 已知函数
(1)讨论函数的单调性
(2)若函数在处取得极值，且对恒成立，求实数的取值范围

4 . 已知函数.
(1)若，求证：；
(2)若，试判断函数在区间上的零点的个数，并说明理由.（参考数据：）

5 . 已知，，是关于x的方程的三个不同的根，且.
(1)求a的取值范围；
(2)证明：.

6 . 设函数.
(1)若最小值为0，求的范围；
(2)在（1）的条件下，令的图象上有一点列，若直线的斜率为，证明：.

7 . 已知，是函数的两个零点，且.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.

8 . 已知函数（，为自然对数的底数）．
(1)若不等式对于一切恒成立，求的最小值；
(2)若对任意的，在上总存在两个不同的，使成立，求的取值范围．

9 . 已知函数，若函数的图象上任意一点P关于原点对称的点Q都在函数的图象上．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使成立，求实数m的取值范围．

10 . 已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：.