1 . 点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为______.

2 . 已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则________.

3 . 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且，则△ABC的内角A＝________．

4 . 已知在四边形中，且，则该四边形内切圆的面积是________.

5 . 圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是______．

6 . 点是三角形内一点，若，则______.

7 . 设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则________．

8 . 已知为正方体表面上的动点，若，则当取最小值时，______.

9 . 在四边形中，，则四边形的形状是______.

10 . 已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的________心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）