1 . 已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为__________．

2 . 易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积（容积）一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程，请回答其中问题.

模型假设：①易拉罐近似看成一个圆柱体，容积一定；②上盖､下底､侧壁的厚度处处均匀；③上盖､下底､侧壁所用金属相同； ④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
(1)建立模型问题1: 填空：记圆柱容积为，高为，底面半径为， 则___________； ①记上盖､下底和侧壁的厚度分别为（底面半径都为），且侧壁展开可看成长方体（长、宽、高分别为），金属用料总量为C（接口材料忽略不计），则 ___________ ；②因为都是常数，不妨设，则由① ②可得用料总量的函数可简化为 _____________(用表示)   ③；
(2)求解模型：问题2：求解当取何值时(用表示)，取得最小值，即用料最省？（写出解答过程）检验模型：小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知，代入（3）的模型结果，经计算得经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径差异较大.实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优；
(3)模型评价与改进：问题3：模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为_________相应改进措施为__________.
注：只需一条原因及相应改进措施即可

3 . 如图，在直三棱柱中，为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法中正确的是（       ）

A．存在点，使得

B．线段长度的取值范围是

C．当点与点重合时，四棱锥的体积为2

D．当为线段中点时，三棱锥外接球的表面积为

4 . 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则_________________.

5 . 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：

(1)正四棱锥的表面积；
(2)若为的中点，求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

6 . 我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵．其意思是：一个长方体沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如图，在长方体中，，，，将长方体沿平面一分为二，得到堑堵，下列结论正确的序号为（       ）

A．堑堵的体积为30

B．与平面所成角的正弦值为

C．堑堵外接球的表面积为

D．堑堵没有内切球

7 . 三棱锥P-ABC中，是边长为3的正三角形，，．则三棱锥P-ABC的体积最大为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，若正方体的棱长为，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，①若保持，则点在底面内运动路径的长度为_____________；②三棱锥体积的最大值为_______.

9 . 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则此圆锥的体积是（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，在直三棱柱中，，，为的中点.

(1)证明：平面.
(2)若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.