名校
解题方法
1 . 正方体的棱长为
，平面展开图为图①.
、
分别为棱与面对角线中点.则下列说法正确的是（ ）
，平面展开图为图①.、分别为棱与面对角线中点.则下列说法正确的是（ ）
A． 面 |
B． |
C． 到面 的距离为 |
D．三棱锥 的外接球必切于正方体一个面 |
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解题方法
2 . 如图，三棱锥
中，
，且平面
平面
，
，
为平面
的重心，
为平面
的重心．
(1)棱
可能垂直于平面吗？若不可能，说明理由；
(2)求
与
夹角正弦值的最大值．
中，，且平面平面，，为平面的重心，为平面的重心．(1)棱
可能垂直于平面吗？若不可能，说明理由；(2)求
与夹角正弦值的最大值．
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解题方法
3 . 在正方体
中，
为线段
的中点，点在线段
上，则直线
与平面
所成角的正弦值的范围是______ ．
中，为线段的中点，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的范围是
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名校
解题方法
4 . 如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，
面，
，点E是棱
上一点（不包括端点），F是平面
内一点，则（ ）
中，底面是边长为2的正方形，面，，点E是棱上一点（不包括端点），F是平面内一点，则（ ）
A．一定不存在点E，使 平面 |
B．一定不存在点E，使 平面 |
C．以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面 的交线长为 |
D． 的最小值 |
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2024-03-06更新
|
202次组卷
|
3卷引用：浙江省临平萧山联考2023-2024学年高二上学期期末数学试题
5 . 数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合
中的元素
称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为
的实部，
称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为
．
两个四元数的乘法定义为：
,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数
使得
，称是的逆，记为
．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设
,四元数．记
表示的共轭四元数．
（i）计算
；
（ii）若
，求
；
（iii）若
，证明：
；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量
与纯四元数
看作同一个数学对象．设
．
（i）证明：
;
（ii）若
是平面X内的两个不共线向量，证明：
是X的一个法向量．
中的元素称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．两个四元数的乘法定义为：
,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．(1)设
,四元数．记表示的共轭四元数．（i）计算
；（ii）若
，求；（iii）若
，证明：；(2)在空间直角坐标系中，把空间向量
与纯四元数看作同一个数学对象．设．（i）证明：
;（ii）若
是平面X内的两个不共线向量，证明：是X的一个法向量．
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解题方法
6 . 如图，直平面六面体的所有棱长都为2，
，为
的中点，点是四边形
（包括边界）内，则下列结论正确的是（ ）
的所有棱长都为2，，为的中点，点是四边形（包括边界）内，则下列结论正确的是（ ） A．过点 的截面是直角梯形 |
B．若直线 面 ，则直线 的最小值为 |
C．存在点使得直线 面 |
D．点到面的距离的最大值为 |
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解题方法
7 . 一平面截正四棱锥，与棱
的交点依次为
，已知
，则
的值为（ ）
，与棱的交点依次为，已知，则的值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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8 . 如图，在多面体
中，四边形是正方形，
，
，M是
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
平面，
，
，点P为线段
上一点，求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
中，四边形是正方形，，，M是的中点．(1)求证：平面
平面；(2)若
平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
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解题方法
9 . 已知四棱锥的底面为边长为1的菱形且
，
平面ABCD，且
，M，N分别为边PB和PD的中点，
平面
，则
______ ，四边形AMQN的面积等于______ ．
的底面为边长为1的菱形且，平面ABCD，且，M，N分别为边PB和PD的中点，平面，则
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解题方法
10 . 如图所示，正方体中，
，点在侧面
及其边界上运动，并且总是保持
，则以下四个结论正确的是（ ）
中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（ ）A． | B． |
C．点必在线段 上 | D． 平面 |
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