解题方法
1 . 如图，已知
是中心在坐标原点、焦点在
轴上的椭圆，
是以的焦点
为顶点的等轴双曲线，点
是与的一个交点，动点
在的右支上且异于顶点.与的方程；
(2)若直线
的倾斜角是直线
的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线
的斜率分别为
，直线与相交于点
，直线与相交于点
，
，
，求证：
且存在常数
使得
.
是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
与的方程；(2)若直线
的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；(3)设直线
的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
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2 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，以线段
为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点，过点作轴的垂线，垂足为
．则下列说法正确的是（ ）
的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点，过点作轴的垂线，垂足为．则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则双曲线 的渐近线方程为 |
| B．若点为线段的三等分点，则双曲线的离心率为3 |
C．若点为线段的三等分点， ，则双曲线的方程为 |
D．若 的面积为1，则双曲线的焦距长的最小值为4 |
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3 . 已知双曲线：
的离心率为
，点
在双曲线上．过的左焦点F作直线
交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M在以
为直径的圆上?请说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线C的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．(3)点
，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
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昨日更新
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1013次组卷
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6卷引用：上海市七宝中学2024届高三上学期期中数学试题
上海市七宝中学2024届高三上学期期中数学试题江苏省苏州市苏州实验中学2023一2024学年高二上学期12月质量检测数学试题（已下线）微考点6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（三大题型）（已下线）大招18非对称处理山东省济宁市第一中学2024届高三下学期3月定时检测数学试题山东省济宁市第一中学2024届高三下学期4月质量检测数学试卷
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4 . 在平面直角坐标系中，点
在双曲线
上，渐近线方程为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点
作直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在一定点，使得直线与的斜率之和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
在双曲线上，渐近线方程为.(1)求双曲线
的方程；(2)过点
作直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在一定点，使得直线与的斜率之和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
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5 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
是
上一点.若
为
的内心，且
.
(1)求的方程；
(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，且
轴，点
是右支上的一动点，在点处的切线与直线
相交于点
，与直线
相交于点
.证明：
为定值.
的左、右焦点分别为，，点是上一点.若为的内心，且.(1)求
的方程；(2)点A是
在第一象限的渐近线上的一点，且轴，点是右支上的一动点，在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点.证明：为定值.
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6 . 已知双曲线
的渐近线为
，左顶点为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线
交轴于点
，过点的直线交双曲线于
，，直线，
分别交于
，
，若
，
，，均在圆上，
①求的横坐标；
②求圆面积的取值范围.
的渐近线为，左顶点为.(1)求双曲线
的方程；(2)直线
交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，①求
的横坐标；②求圆
面积的取值范围.
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7 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：
①点
在双曲线上；②点在双曲线上，
，且
；③双曲线的一条渐近线与直线
垂直.
(1)求双曲线的方程；
(2)设分别为双曲线的左、右顶点，过点
的直线与双曲线交于
两点，若
，求直线的斜率.
的左、右焦点分别为，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：①点
在双曲线上；②点在双曲线上，，且；③双曲线的一条渐近线与直线垂直.(1)求双曲线
的方程；(2)设
分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的斜率.
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8 . 已知双曲线的焦距为
，点
在上.
(1)求的方程;
(2)直线
与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）求证：直线
过点.
的焦距为，点在上.(1)求
的方程;(2)直线
与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.（ⅰ）求
的取值范围；（ⅱ）求证：直线
过点.
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解题方法
9 . 已知双曲线
(
，
)，给定的四点
、
、
、
中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是___________ ．
(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是
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10 . 已知双曲线左右焦点分别为，，点
在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为
，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，
两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段，
的中点分别为，，求证：直线
恒过定点，并求出该定点坐标.
左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.(1)求双曲线
的方程；(2)若线段
，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.
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470次组卷
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2卷引用：浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三二模数学试题
