解题方法
1 . 用平面截圆锥面,可以截出椭圆、双曲线、抛物线,那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢?比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1,在一个圆锥中放入两个球,使得它们都与圆锥面相切,一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切,切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点,过点的母线与两个球分别相切于点,因此有,而是图中两个圆锥母线长的差,是一个定值,因此曲线是一个椭圆.如图2,两个对顶圆锥中,各有一个球,这两个球的半径相等且与圆锥面相切,已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为,球的半径为4,平面与圆锥的轴平行,且与这两个球相切于两点,记平面与圆锥侧面相交所得曲线为,则曲线的离心率为__________ .
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2 . 已知在正项数列中,,点在双曲线上.在数列中,点在直线上,其中是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式并求出其前项和;
(2)求证:数列是等比数列.
(1)求数列的通项公式并求出其前项和;
(2)求证:数列是等比数列.
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3 . 根据中国地震局发布的最新消息,2023年1月1日至2023年11月10日,全球共发生六级以上地震110次,最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震.地震定位对地震救援具有重要意义,根据双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A,B在公路l上(l为直线),且A,B相距,地震局以的中点为原点O,直线l为x轴,为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后,根据A,B两站收到的信息,并通过计算发现震中P在双曲线的右支上,且,则P到公路l的距离为( )
A. | B. | C. | D. |
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解题方法
4 . 某苗圃有两个入口A、B,,欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物,现有150株树苗放在P处,已知,,以AB所在直线为x轴,AB中点为原点建立直角坐标系.计划将树苗种在以,,,为顶点的矩形内呈15列10行等距排列.
(1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短?
(2)能否在苗圃内确定一条界线,使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近,而另一侧的树苗沿PB运输较近?若能,求出这条界线;若不能,说明理由.
(3)有多少株树苗沿PB运输较近?
(1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短?
(2)能否在苗圃内确定一条界线,使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近,而另一侧的树苗沿PB运输较近?若能,求出这条界线;若不能,说明理由.
(3)有多少株树苗沿PB运输较近?
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解题方法
5 . 3D打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术,如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为,下底直径为,喉部(中间最细处)的直径为,则该塔筒的高为( )
A. | B. | C. | D. |
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2023-11-16更新
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294次组卷
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5卷引用:江西省大联考2023-2024学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题
名校
解题方法
6 . 随着我国航天科技的快速发展,双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用,双曲线的光学性质是:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左,右焦点,过C右支上一点作直线l交x轴于,交y轴于点N,则( )
A.C的渐近线方程为 |
B.过点作,垂足为H,则 |
C.点N的坐标为 |
D.四边形面积的最小值为 |
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2023-11-05更新
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651次组卷
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4卷引用:重庆市第十一中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题
重庆市第十一中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题广西壮族自治区桂林市灵川县广西师大附中2023-2024学年高二上学期段考(期中)数学试题(已下线)第三章 圆锥曲线的方程【单元提升卷】-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(人教A版2019选择性必修第一册)重庆市万州二中教育集团2023-2024学年高二下学期入学质量监测数学试题
名校
解题方法
7 . 双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左,右焦点,过双曲线右支上一点作直线交轴于点,交轴于点则( )
A.双曲线的渐近线方程为 |
B.点的坐标为 |
C.过点作,垂足为,则 |
D.四边形面积的最小值为4 |
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23-24高二上·全国·课时练习
8 . 如图,某绿色蔬菜种植基地在A处,现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去,已知,,,能否在农贸市场中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近,而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近?如果能,说出这条界线是一条什么曲线,并求出该曲线的方程.
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23-24高二上·全国·课时练习
解题方法
9 . 如图,发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状(双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面),可以加强对流,自然通风.已知某个冷却塔的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试选择适当的坐标系求此双曲线的方程.
附:
附:
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名校
10 . 如图1,北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念,创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型,基座沉稳,象征“地载万物”,顶部舒展开阔,寓意迎接纯洁的奥林匹克火种.如图2,一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面,尊高63cm,上口直径为40cm,底部直径为26cm,最小直径为24cm,则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为____________ .
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2023-09-06更新
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287次组卷
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4卷引用:陕西省洛南中学2022-2023学年高二上学期期末数学(文)试题
陕西省洛南中学2022-2023学年高二上学期期末数学(文)试题山东省烟台市龙口第一中学等校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题(已下线)专题03 圆锥曲线方程(1)(已下线)3.2.2 双曲线的几何性质(1)