1 . 如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上.

(1)求线段的长；
(2)若线段的中点在轴上，求的面积；
(3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线与椭圆交于另一点，且点到轴的距离为．
(1)求椭圆的方程．
(2)若点是上与点不重合的任意一点，直线与轴分别交于点．
①设直线的斜率分别为，求的取值范围．
②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．

3 . 已知曲线与曲线关于直线对称．
(1)求曲线的方程．
(2)若过原点的两条直线分别交曲线于点，，，，且（为坐标原点），则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由．

4 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线、的斜率分别为，且．则（       ）

A．的斜率可能不存在，且不为0

B．点纵坐标为

C．直线的斜率

D．直线过定点

6 . 已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求椭圆的方程．
(2)记直线的斜率为，证明：为定值．
(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

7 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．

       

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求以为直径的圆的方程；
(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．

8 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：．

9 . 已知椭圆()的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为．是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于P，Q两点，过点作垂直于轴的直线与直线AQ相交于点，证明：线段PM的中点在定直线上．