1 . 已知双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，直线
与
的左、右两支分别交于
，
两点，四边形
为矩形，且面积为
．
(1)求四边形的外接圆方程；
(2)设
，
为的左、右顶点，直线
过点
与交于
，
两点（异于，），直线
与
交于点
，证明：点在定直线上．
（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为．(1)求四边形
的外接圆方程；(2)设
，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上．
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解题方法
2 . 已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为
，左、右顶点分别为
，
.
(1)求
的方程；
(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线
与
交于点．
（i）证明：点在定直线上：
（ii）若直线
与
交于点，求证：
．
，左、右顶点分别为，.(1)求
的方程；(2)过右焦点
的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．（i）证明：点
在定直线上：（ii）若直线
与交于点，求证：．
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解题方法
3 . 已知双曲线
经过点
，其右焦点为
，且直线
是的一条渐近线.
(1)求的标准方程；
(2)设
是上任意一点，直线
.证明：与双曲线相切于点；
(3)设直线
与相切于点
，且
，证明：点在定直线上.
经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线.(1)求
的标准方程；(2)设
是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点；(3)设直线
与相切于点，且，证明：点在定直线上.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
4 . 已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为
，离心率为
．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为
，
，若直线l交C于
，
，且点N在第一象限，
，直线
与直线
的交点P在直线
上，证明：直线MN过定点．
，离心率为．(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为
，，若直线l交C于，，且点N在第一象限，，直线与直线的交点P在直线上，证明：直线MN过定点．
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解题方法
5 . 已知双曲线E:
的左、有焦点分别是，离心率为2，过右焦点的直线交双曲线E的右支于A，B两点，
的内切圆圆心为M，则下列结论正确的是（ ）
的左、有焦点分别是，离心率为2，过右焦点的直线交双曲线E的右支于A，B两点，的内切圆圆心为M，则下列结论正确的是（ ）A．双曲线E的渐近线方程为  |
B．直线 与双曲线E的左、右两支各有一个交点 |
C． 的最小值为 2a |
| D．M在定直线上 |
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6 . 已知双曲线
的左､右焦点分别为
为
上两点，且
，则直线
的方程为（ ）
的左､右焦点分别为为上两点，且，则直线的方程为（ ）A． | B． |
C． | D． |
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解题方法
7 . 在平面直角坐标系中，
，动点
满足
，点的轨迹记为曲线.
(1)求的方程.
(2)已知
，过点
的直线（斜率存在且斜率不为0）与交于
两点，直线与交于点，若为圆
上的动点，试问
是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
，动点满足，点的轨迹记为曲线.(1)求
的方程.(2)已知
，过点的直线（斜率存在且斜率不为0）与交于两点，直线与交于点，若为圆上的动点，试问是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
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8 . 已知离心率为
的双曲线的虚轴长为2．
(1)求C的方程；
(2)已知
，过点
的直线l（斜率不为0）与C交于M，N两点，直线
与
交于点P，若Q为圆
上的动点，求
的最小值.
的双曲线的虚轴长为2．(1)求C的方程；
(2)已知
，过点的直线l（斜率不为0）与C交于M，N两点，直线与交于点P，若Q为圆上的动点，求的最小值.
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9 . 已知双曲线
，点
，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线
在曲线上某点
处的切线方程为
）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，
，求
的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记
，
，
的面积分别为
，问：是否存在常数m，使得
？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，
，求的值；(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记
，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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2024-02-05更新
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1105次组卷
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2卷引用：辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期末数学试题
解题方法
10 . 已知双曲线C：
实轴的左、右端点分别为，，点
在C上，且
，
的斜率之积为
．
(1)求C的方程；
(2)已知直线l与C交于M，N两点（均与P不重合），与直线
交于点Q，且点M，N在直线的两侧，若
，线段MN的中点为R，证明：点R在一条定直线上．
实轴的左、右端点分别为，，点在C上，且，的斜率之积为．(1)求C的方程；
(2)已知直线l与C交于M，N两点（均与P不重合），与直线
交于点Q，且点M，N在直线的两侧，若，线段MN的中点为R，证明：点R在一条定直线上．
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