1 . 在平面直角坐标系xOy中，过点
的直线
与抛物线
交于M，N两点
在第一象限）.
(1)当
时，求直线的方程;
(2)若三角形OMN的外接圆与曲线
交于点
（异于点O，M，N），
（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）.(1)当
时，求直线的方程;(2)若三角形OMN的外接圆与曲线
交于点（异于点O，M，N），（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
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1081次组卷
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3卷引用：浙江省五校联盟2024届高三下学期3月联考数学试题
2 . 已知抛物线
的焦点为
，
为上一点，且
.
(1)求的方程；
(2)过点
且斜率存在的直线与交于不同的两点
，且点
关于
轴的对称点为，直线
与轴交于点
.
（i）求点的坐标；
（ii）求
与
的面积之和的最小值.
的焦点为，为上一点，且.(1)求
的方程；(2)过点
且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.（i）求点
的坐标；（ii）求
与的面积之和的最小值.
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532次组卷
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2卷引用：四川省泸州市泸州老窖天府中学2023-2024学年高二下学期第一学月考试数学试题
3 . 在直角坐标系
中，已知抛物线C：
的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，
.
(1)求C的方程；
(2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若
，求
面积的取值范围.
中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，.(1)求C的方程；
(2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若
，求面积的取值范围.
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解题方法
4 . 已知抛物线C：
，焦点为F，直线
与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，且M为
的中点，则（ ）
，焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，且M为的中点，则（ ）A． | B． |
C．梯形 的面积是16 | D． 到 轴距离为3. |
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5 . 某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线
进行了深人研究．已知点
在曲线
上，曲线在点
处的切线方程为
．请同学们研究以下问题，并作答．
(1)问题1：过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，点
在第一象限．
（i）求
（
为坐标原点）面积的最小值；
（ii）曲线在点
处的切线分别为
，两直线相交于点，证明
．
(2)问题2：若是曲线上任意两点，过的中点
作轴的平行线交曲线于点，记线段与曲线围成的封闭区域为
，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现
是个定值，请求出这个定值．
进行了深人研究．已知点在曲线上，曲线在点处的切线方程为．请同学们研究以下问题，并作答．(1)问题1：过曲线
的焦点的直线与曲线交于两点，点在第一象限．（i）求
（为坐标原点）面积的最小值；（ii）曲线
在点处的切线分别为，两直线相交于点，证明．(2)问题2：若
是曲线上任意两点，过的中点作轴的平行线交曲线于点，记线段与曲线围成的封闭区域为，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现是个定值，请求出这个定值．
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2024·全国·模拟预测
解题方法
6 . 已知抛物线
的焦点到轴的距离为1．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线交抛物线于两点，为抛物线上的点，且
，求
的面积．
的焦点到轴的距离为1．(1)求抛物线
的标准方程；(2)过焦点
的直线交抛物线于两点，为抛物线上的点，且，求的面积．
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名校
7 . 已知抛物线
的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点位于点右方，若
，则下列结论一定正确的有
（ ）
A． | B． |
C． | D．直线 的斜率为 |
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解题方法
8 . 在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线与交于
两点，且当的斜率为1时，．
(1)求的方程；
(2)设与的准线交于点，直线
与交于点（异于原点），线段
的中点为
，若，求面积的取值范围．
中，已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且当的斜率为1时，．(1)求
的方程；(2)设
与的准线交于点，直线与交于点（异于原点），线段的中点为，若，求面积的取值范围．
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9 . 已知抛物线的焦点为，在轴上的截距为正数的直线与交于
两点，直线
与的另一个交点为.
(1)若
，求
；
(2)过点作的切线
，若
，则当
的面积取得最小值时，求直线的斜率.
的焦点为，在轴上的截距为正数的直线与交于两点，直线与的另一个交点为.(1)若
，求；(2)过点
作的切线，若，则当的面积取得最小值时，求直线的斜率.
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291次组卷
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2卷引用：河南省濮阳市2024届高三下学期（开学）第一次模拟考试数学试题
解题方法
10 . 已知抛物线
为抛物线上两点，
为坐标原点且三角形
的面积
，则
（ ）
为抛物线上两点，为坐标原点且三角形的面积，则（ ）| A．5 | B．8 | C． | D． |
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