名校
解题方法
1 . 当前,人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展,并逐步影响我们的方方面面,人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入,以下是近年来该公司对产品研发年投入额(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据统计表.
(1)公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型,请根据已知数据,确定方案①和②的经验回归方程;(计算过程保留到小数点后两位,最后结果保留到小数点后一位)
(2)根据下表数据,用决定系数(只需比较出大小)比较两种模型的拟合效果哪种更好,并选择拟合精度更高的模型,预测年投入额为百万元时,产品的销售量是多少?
参考公式及数据:,,,,,,,, .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | 1.5 | 3 | 6 | 12 | ||
(2)根据下表数据,用决定系数(只需比较出大小)比较两种模型的拟合效果哪种更好,并选择拟合精度更高的模型,预测年投入额为百万元时,产品的销售量是多少?
经验回归方程 | ||
残差平方和 |
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2 . 混凝土的抗压强度x较容易测定,而抗剪强度y不易测定,工程中希望建立一种能由x推算y的经验公式,下表列出了现有的9对数据,分别为,,…,.
x | 141 | 152 | 168 | 182 | 195 | 204 | 223 | 254 | 277 |
y | 23.1 | 24.2 | 27.2 | 27.8 | 28.7 | 31.4 | 32.5 | 34.8 | 36.2 |
以成对数据的抗压强度x为横坐标,抗剪强度y为纵坐标作出散点图,如图所示.
(1)从上表中任选2个成对数据,求该样本量为2的样本相关系数r.结合r值分析,由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的线性相关关系?
(2)根据散点图,我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线,根据一元线性回归模型及最小二乘法,得到经验回归方程分别为:①,②.经验回归方程①和②的残差计算公式分别为,,.
(ⅰ)求;
(ⅱ)经计算得经验回归方程①和②的残差平方和分别为,,经验回归方程①的决定系数,求经验回归方程②的决定系数.
附:相关系数,决定系数,.
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名校
3 . 某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表:
计算可得数学成绩的平均值是,知识竞赛成绩的平均值是,并且,,.
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01);
(2)设,变量和变量的一组样本数据为,其中两两不相同,两两不相同.记在中的排名是第位,在中的排名是第位,.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”(记为)为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.
(i)记,.证明:;
(ii)用(i)的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91,简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注:参考公式与参考数据.
;;.
学生编号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
数学成绩 | 100 | 99 | 96 | 93 | 90 | 88 | 85 | 83 | 80 | 77 |
知识竞赛成绩 | 290 | 160 | 220 | 200 | 65 | 70 | 90 | 100 | 60 | 270 |
学生编号i | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
数学成绩 | 75 | 74 | 72 | 70 | 68 | 66 | 60 | 50 | 39 | 35 |
知识竞赛成绩 | 45 | 35 | 40 | 50 | 25 | 30 | 20 | 15 | 10 | 5 |
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01);
(2)设,变量和变量的一组样本数据为,其中两两不相同,两两不相同.记在中的排名是第位,在中的排名是第位,.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”(记为)为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.
(i)记,.证明:;
(ii)用(i)的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91,简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注:参考公式与参考数据.
;;.
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2023-11-01更新
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1113次组卷
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8卷引用:重庆市北碚区西南大学附中2024届高三上学期11月模拟测试数学试题
重庆市北碚区西南大学附中2024届高三上学期11月模拟测试数学试题山西省朔州市平鲁区李林中学2024届高三上学期开学摸底数学试题(已下线)第十章 综合测试B(提升卷)(已下线)第三节 成对数据的统计分析(第一课时)一轮复习点点通(已下线)第八章 成对数据的统计分析(压轴题专练)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大核心考点)(讲义)(已下线)第八章 成对数据的统计分析(压轴题专练)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(沪教版2020选择性必修第二册)(已下线)第八章 成对数据的统计分析(单元重点综合测试)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(沪教版2020选择性必修第二册)
4 . 为研究女儿身高与母亲身高的关系,现经过随机抽样获得成对样本数据,,下列说法正确的是( )
A.落在回归直线上的样本点越多,回归直线方程的拟合效果越好 |
B.样本相关系数越大,变量线性相关程度越强 |
C.决定系数越小,残差平方和越大,模型的拟合效果越好 |
D.决定系数越大,残差平方和越小,模型的拟合效果越好 |
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2023-09-03更新
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465次组卷
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6卷引用:重庆市七校2024届高三上学期开学考试数学试题
重庆市七校2024届高三上学期开学考试数学试题(已下线)考点巩固卷23 统计与统计案例(十大考点)(已下线)第三节 成对数据的统计分析(第一课时)一轮复习点点通(已下线)8.1.2 样本相关系数 (导学案)-【上好课】高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)8.2 一元线性回归模型及其应用(分层练习,7大题型)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)第05讲 第八章 成对数据的统计分析 章末重点题型大总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(人教A版2019选择性必修第三册)
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解题方法
5 . 近年来,随着人工智能技术的不断发展,各种AI应用也不断普及,ChatGPT就是一款具有人类沟通能力的智能AI工具.随着人工智能的加入,各类传媒、影视、游戏行业迎来了高速的发展,AI技术降低了这些行业的人力成本,提高了效率.如图是某公司近年来在人力成本上的投入资金变化情况的散点图,其中x为年份代号(第1年-第7年),y(单位:万元)为人力成本的投入资金,小明选用2个模型来拟合,模型一:,已知,其中决定系数,模型二:,其中决定系数,则下列说法正确的有( )
A. |
B.模型一中解释变量增加1个单位,响应变量则大致减少5个单位 |
C.模型一中第7年的残差为5 |
D.模型一的拟合效果更好 |
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6 . 下列命题正确的是( )
A.当时,当且仅当事件与相互独立时,有 |
B.随机变量服从两点分布,则 |
C.在残差图中,残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内且水平带状区域宽度越窄,其模型的拟合效果越好 |
D.已知由一组样本数据得到的经验回归方程为,,则这组数据中一定有 |
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名校
7 . 某兴趣小组研究光照时长x(h)和向日葵种子发芽数量y(颗)之间的关系,采集5组数据,作如图所示的散点图.若去掉后,下列说法正确的是( )
A.相关系数r变小 | B.决定系数变小 |
C.残差平方和变大 | D.解释变量x与预报变量y的相关性变强 |
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2023-04-06更新
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4062次组卷
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17卷引用:重庆市三峡名校联盟2022-2023学年高二下学期春季联考数学试题
重庆市三峡名校联盟2022-2023学年高二下学期春季联考数学试题浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测(二模)数学试题(已下线)专题10 计数原理与概率统计(理科)(已下线)模块二 专题3 分层抽样的样本平均数、百分位数、残差(已下线)专题08 概率统计及计数原理(已下线)第9章 统计 单元综合检测-2022-2023学年高二数学同步精品课堂(苏教版2019选择性必修第二册)福建省”德化一中、永安一中、漳平一中“三校协作2023届高三适应性考试数学试题山东省新高考质量检测联盟2024届高三第一次质量检测数学试题(A)山西省朔州市怀仁市2022-2023学年高二下学期期末数学试题湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高二下学期期末数学试题广东省广州市执信中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题(已下线)成对数据的统计分析章末测试卷(一)-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)4.1 成对统计数据的相关性(同步练习)-【素养提升—课时练】2022-2023学年高二数学湘教版选择性必修第二册检测 (基础篇)广东省佛山市南海区第一中学2024届高三上学期10月月考数学试题(已下线)专题16 统计(已下线)专题13 统计与随机变量及其分布小题综合(已下线)黄金卷02
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8 . 下列说法中正确的是( )
A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变 |
B.回归直线恒过样本点的中心,且至少过一个样本点 |
C.用相关指数来刻画回归效果时,越接近1,说明模型的拟合效果越好 |
D.在列联表中,的值越大,说明两个分类变量之间的关系越弱 |
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2024-01-12更新
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739次组卷
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5卷引用:重庆市黔江中学校2022届高三上学期8月考试数学试题
名校
9 . 对两个变量和进行回归分析,得到一组样本数据则下列结论正确的是( )
A.若求得的经验回归方程为,则变量和之间具有正的线性相关关系 |
B.若这组样本数据分别是,则其经验回归方程必过点 |
C.若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为,则模型1的拟合效果更好 |
D.若用相关指数来刻画回归效果,回归模型3的相关指数,回归模型4的相关指数,则模型4的拟合效果更好 |
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2022-09-10更新
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1064次组卷
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4卷引用:重庆市育才中学校2023届高三下学期开学考试数学试题
重庆市育才中学校2023届高三下学期开学考试数学试题山东省泰安市2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题(已下线)第04讲 第九章 统计与成对数据的统计分析(基础拿分卷)第四章 概率与统计(B卷·能力提升练)-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷(人教B版2019)
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10 . 下列说法正确的是( )
A.在一组样本数据的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组数据的样本相关系数为1 |
B.若变量,的样本相关系数为0,则与不存在相关关系 |
C.若以模型拟合一组样本数据,设,将样本数据进行相应变换后算得回归直线的方程为,则,的估计值分别为和0.5 |
D.在回归分析中,相关指数的值越大,说明模型拟合的效果越好 |
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2022-07-06更新
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275次组卷
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2卷引用:重庆市2021-2022学年高二下学期期末数学试题