解题方法
1 . 某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种.
方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分；
方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分；
已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为
，且每次投篮相互独立.
(1)求甲得分不低于2分的概率；
(2)求乙得分的分布列及期望；
(3)甲，乙谁胜出的可能性更大？直接写出结论.
方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分；
方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分；
已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为
，且每次投篮相互独立.(1)求甲得分不低于2分的概率；
(2)求乙得分的分布列及期望；
(3)甲，乙谁胜出的可能性更大？直接写出结论.
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解题方法
2 . 为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．
(1)记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；
(2)现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．
(1)记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；
(2)现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．
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解题方法
3 . 小明从4双鞋中，随机一次取出2只，
(1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率；
(2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望
，
(1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率；
(2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望
，
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2024·全国·模拟预测
4 . 2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表：
(1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率．
(2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率．
(3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记
为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望．
| 展区类型 | 新一代信 息技术展 | 环保展 | 新型显示展 | 智慧城市展 | 数字医疗展 | 高端装备 制造展 |
| 展区的企 业数量/家 | 60 | 360 | 650 | 450 | 70 | 990 |
| 备受关注率 | 0.20 | 0.10 | 0.24 | 0.30 | 0.10 | 0.20 |
(2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率．
(3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记
为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望．
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解题方法
5 . ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
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6 . 某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为
、
、
，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.
(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若
，
，
，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；
(3)已知
，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出.
、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若
，，，求该小组比赛胜利的概率；(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目
的分布，并求的期望；(3)已知
，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出.
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解题方法
7 . 随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其
两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司
的客户人数为，求的分布列和数学期望.
两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司
的客户人数为，求的分布列和数学期望.
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2024·全国·模拟预测
8 . 某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各40人作为样本．据统计：男生参观科技展的概率为
，参观科技展的学生中女生占
．
(1)根据已知条件，填写下列
列联表，试根据小概率值
的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关．
(2)用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示女生人数，求的分布列和数学期望．
参考公式和数据：
，其中
．
，参观科技展的学生中女生占．(1)根据已知条件，填写下列
列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关．| 参观科技展 | 未参观科技展 | 合计 | |
| 男生 | |||
| 女生 | |||
| 合计 |
表示女生人数，求的分布列和数学期望．参考公式和数据：
，其中． | 0．1 | 0．05 | 0．025 | 0．01 | 0．001 |
 | 2．706 | 3．841 | 5．024 | 6．635 | 10．828 |
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2024高二下·全国·专题练习
9 . 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择
健身中心健身的概率分别为
，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为
；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为
.求丁周日选择健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数
来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定
值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过
.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.
参考数据：
.
两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从
两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择
健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；(3)现用健身指数
来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.参考数据：
.
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解题方法
10 . 盒中有标记数字1，2的小球各2个.
(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；
(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为（如1122，则
），求的分布列及数学期望.
(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；
(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为
（如1122，则），求的分布列及数学期望.
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