名校
解题方法
1 . 甲､乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为
，且每局的胜负相互独立，
(1)求该比赛三局定胜负的概率；
(2)在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为
，求的分布列与数学期望.
，且每局的胜负相互独立，(1)求该比赛三局定胜负的概率；
(2)在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为
，求的分布列与数学期望.
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731次组卷
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3卷引用：甘肃省定西市2023-2024学年高三下学期教学质量统一检测数学试题
名校
解题方法
2 . 甲、乙两队进行排球比赛，规则是：每个回合由一方发球，另一方接球，每个回合的胜方得1分，负方不得分，且胜方为下一回合的发球方．无论之前得分情况如何，每个回合中发球方得分的概率均为
，接球方得分的概率均为，且第一回合的发球方为甲队．
(1)求第二回合甲队得分的概率；
(2)设前三个回合中，甲队发球的次数为，求的分布列及数学期望．
，接球方得分的概率均为，且第一回合的发球方为甲队．(1)求第二回合甲队得分的概率；
(2)设前三个回合中，甲队发球的次数为
，求的分布列及数学期望．
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名校
3 . 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在
的锻炼者称为青年，年龄在
的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据数据回答：是否有
的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在
与
的人数分别为
，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六､星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步､篮球､羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步､篮球､羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为
，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
年龄 次数 |  | |  | |
| 每周0~2次 | 70 | 55 | 36 | 59 |
| 每周3~4次 | 25 | 40 | 44 | 31 |
| 每周5次及以上 | 5 | 5 | 20 | 10 |
的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据数据回答：是否有的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关；(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在
与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；(3)已知小明每周的星期六､星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步､篮球､羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步､篮球､羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为
，求小明星期天选择跑步的概率.参考公式：
附：
 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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4 . 某校为了丰富课余活动，同时训练学生的逻辑思维能力，在高中三个年级举办中国象棋盲棋比赛，经过各年级初赛，高一、高二、高三分别有3人，4人，5人进入决赛，决赛采取单循环方式，即每名队员与其他队员都要进行1场比赛（每场比赛都采取5局3胜制，初赛、决赛的赛制相同，记分方式相同），最后根据积分选出冠军，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．
(1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛，这2人恰好来自不同年级的概率是多少？
(2)初赛时，高三甲、乙两同学对局，设每局比赛甲取胜的概率均为
，记甲以
取胜的概率为
，当最大时，甲处于最佳竞技状态．在决赛阶段甲、乙对局，而且甲的竞技状态最好，求甲所得积分的分布列及期望．
(1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛，这2人恰好来自不同年级的概率是多少？
(2)初赛时，高三甲、乙两同学对局，设每局比赛甲取胜的概率均为
，记甲以取胜的概率为，当最大时，甲处于最佳竞技状态．在决赛阶段甲、乙对局，而且甲的竞技状态最好，求甲所得积分的分布列及期望．
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5 . 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为
.甲如果第
轮猜对，则他第
轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；
(2)若一条信息有
种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为
，
，
，
，则称
为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H；
(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：
.
.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响.(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；
(2)若一条信息有
种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，，，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H；(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：
.
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6 . 据文化和旅游部发布的数据显示，2023年国内出游人次达48.91亿次，总花费4.91万亿元．人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游．为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）．现在S市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据：
(1)请补充
列联表，并判断能否有
的把握认为年龄与出游方式的选择有关；
(2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望．
青壮年 | 中老年 | 合计 | |
自由行 | 60 | 40 | |
跟团游 | 20 | 50 | |
合计 |
列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关；(2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量
表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望．
| 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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7 . 某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为___________ .
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8 . 2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．
已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．
(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．
已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．
(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记
为甲同学的累计得分，求的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．
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849次组卷
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2卷引用：辽宁省葫芦岛市2024届高三下学期第一次模拟数学试题
9 . 土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存财和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示：
其散点图如下，散点大致分布在指数型函数
的图象附近．
关于
的经验回归方程（系数精确到0.01）；
(2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间
内的组数为，求的分布列与数学期望.
附：经验回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
细菌 百万个 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 |
真菌 百万个 | 8.0 | 10.0 | 12.5 | 15.0 | 17.5 | 21.0 | 27.0 | 39.0 |
的图象附近．
关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；(2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌
（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望.附：经验回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
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10 . 某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表:
(1)根据表中数据，依据小概率值
的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.
(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望.
附:
列联表:性别 | 比赛项目 | 合计 | |
乒乓球组 | 羽毛球组 | ||
男生 | 50 | 25 | 75 |
女生 | 35 | 40 | 75 |
合计 | 85 | 65 | 150 |
的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记
为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望.附:
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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