1 . 对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作．
(1)当时，直接写出下述集合的特征：；
(2)当时，设且，求中元素个数的最大值；
(3)当时，设且，求证：中的元素个数小于．

2 . 已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
(1)已知，写出所有的，使得；
(2)已知，若，并且，求的最大值；
(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．

4 . 已知数列的首项，且满足
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)证明：数列中的任意三项均不能构成等差数列．

5 . 设整数集合，其中，且对于任意，若，则．
(1)请写出一个满足条件的集合A；
(2)证明：任意，．

6 . 如果同时满足以下三个条件：
①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”.有下列两个命题：
命题：若为“理想函数”，则存在且，使成立；
命题：若为“理想函数”，则对任意，都有成立.
则下列说法正确的是（       ）

A．命题为假命题，命题为真命题	B．命题为真命题，命题为假命题
C．命题、命题都是真命题	D．命题、命题都是假命题

7 . 若无穷数列满足，是正实数，当时，，则称是“数列”.
(1)若是“数列”且，写出的所有可能值；
(2)设是“数列”，证明：是等差数列充要条件是单调递减；是等比数列充要条件是单调递增；
(3)若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数.

8 . 设,,是由三个整数组成的非空集，已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，如果,，则，证明：,,中必有两个集合相等．

9 . 给定无理数．若正整数满足．
(1)试比较三数，，的大小；
(2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立
①；②；③．

10 . 已知集合是集合的一个含有8个元素的子集.
(1)当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；
(2)证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程至少有三组不同的解.