21. 汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图(1)中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子,移动到③号塔座上,在移动的过程中要求:每次只可以移动一个盘子,并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将
n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为
an.
(1)试写出
a1,
a2,
a3,
a4值,并猜想出
an;(无需给出证明)
(2)著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图(2)的形状,此时小石子的数目分别为1,4,9,16,由于小石子围成的图形类似正方形,于是称
bn=
n2这样的数为正方形数.当
n≥2时,试比较
an与
bn的大小,并用数学归纳法加以证明.