6. 阅读材料:我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性,但是这些还不能够准确地描述出函数的图象,例如函数
和
,虽然它们都是增函数,图象在
上都是上升的,但是却有着显著的不同.如图1所示,函数
的图象是向下凸的,在
上任意取两个点
,函数
的图象总是在线段
的下方,此时函数
称为下凸函数;函数
的图象是向上凸的,在
上任意取两个点
,函数
的图象总是在线段
的上方,则函数
称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.
定义1:设函数
是定义在区间
I上的连续函数,若
,都有
,则称
为区间
I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征:曲线上任意两点
之间的部分位于线段
的下方.定义2:设函数
是定义在区间
I上的连续函数,若
,都有
,则称
为区间
I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征:曲线上任意两点
之间的部分位于线段
的上方.上凸(下凸)函数与函数的定义域密切相关的.例如,函数
在
为上凸函数,在
上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复,属于整体性质;而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向,属于局部性质.关于函数性质的探索,对我们的启示是:在认识事物和研究问题时,只有从多角度、全方位加以考查,才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题:
(1)请尝试列举一个下凸函数:___________;
(2)求证:二次函数
是上凸函数;
(3)已知函数
,若对任意
,恒有
,尝试数形结合探究实数
a的取值范围.