21. 据相关部门统计,随着电商网购的快速普及,快递包装业近年来实现了超过
的高速年均增长,针对这种大好形式,某化工厂引进了一条年产量为
万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值
为衡量标准.为估算其经济效益,该化工厂先进行了试生产,并从中随机抽取了
个包装胶带,统计了每个包装胶带的质量指标值
k,并分成以下
组,其统计结果及产品等级划分如下表所示:
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布,并解决下列问题(注:每组数据取区间的中点值).
(1)由频数分布表可认为,该包装胶带的质量指标值
近似地服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本的标准差
,并已求得
.记
表示某天从生产线上随机抽取的
个包装胶带中质量指标值
在区间
之外的包装胶带个数,求
及
的数学期望(精确到
);
(2)已知每个包装胶带的质量指标值
与利润
(单位:元)的关系如下表所示:
.
假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去,且这一年的总投资为
万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内),问:该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?试说明理由.
参考数据:若随机变量
,则
,
,
,
,
.