2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(八省联考)数学试题
全国
高三
零模
2021-01-23
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整体难度:
一般
考查范围:
集合与常用逻辑用语、计数原理与概率统计、平面解析几何、平面向量、函数与导数、复数、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、数列
一、单选题添加题型下试题
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单选题 | 一般(0.65) | 2021·全国高三专题练习(理)
2. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后,再把卡片随机分给这3位同学,每人1张,则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为( )
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
【知识点】 计算古典概型问题的概率
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3. 关于
的方程
,有下列四个命题:甲:
是该方程的根;乙:
是该方程的根;丙:该方程两根之和为
;丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是( )





A.甲 | B.乙 | C.丙 | D.丁 |
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单选题 | 一般(0.65) | 2021·全国高三专题练习
解题方法
7. 已知抛物线
上三点
,直线
是圆
的两条切线,则直线
的方程为( )





A.![]() | B.![]() |
C.![]() | D.![]() |
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二、多选题添加题型下试题
多选题 | 一般(0.65) | 2021·全国高三专题练习
同步
9. 已知函数
,则( )

A.![]() ![]() |
B.![]() |
C.曲线![]() ![]() ![]() |
D.![]() |
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同步
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多选题 | 较易(0.85) | 2021·全国高三专题练习
同步
11. 下图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中( )


A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
【知识点】 正棱柱及其有关计算 面面平行证明线线平行 线面垂直证明线线垂直
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多选题 | 较难(0.4) | 2021·全国高三专题练习
解题方法
压轴 12. 设函数
,则( )

A.![]() | B.![]() ![]() |
C.![]() ![]() | D.![]() ![]() |
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三、填空题添加题型下试题
四、双空题添加题型下试题
解题方法
14. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______ ,_____ .
【知识点】 用和、差角的正切公式化简、求值 解读 直线斜率的定义
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五、填空题添加题型下试题
六、解答题添加题型下试题
解答题 | 较难(0.4) | 2021·全国
解题方法
17. 已知各项都为正数的数列
满足
.
(1)证明:数列
为等比数列;
(2)若
,求
的通项公式.


(1)证明:数列

(2)若


【知识点】 由递推关系证明等比数列 构造法求数列通项
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解答题 | 一般(0.65) | 2021·全国高三专题练习
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19. 一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立.
(1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率;
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为
,求
的分布列及数学期望.
(1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率;
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为


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压轴
20. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是
,所以正四面体在各顶点的曲率为
,故其总曲率为
.

(1)求四棱锥的总曲率;
(2)若多面体满足:顶点数-棱数+面数
,证明:这类多面体的总曲率是常数.





(1)求四棱锥的总曲率;
(2)若多面体满足:顶点数-棱数+面数

【知识点】 立体几何新定义
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解答题 | 一般(0.65) | 2021·全国高三专题练习
解题方法
21. 双曲线
的左顶点为
,右焦点为
,动点
在
上.当
时,
.
(1)求
的离心率;
(2)若
在第一象限,证明:
.







(1)求

(2)若


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解答题 | 较难(0.4) | 2021·全国高三专题练习
解题方法
压轴 22. 已知函数
.
(1)证明:当
时,
;
(2)若
,求
.

(1)证明:当


(2)若


【知识点】 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题
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试卷分析
整体难度:一般
考查范围:集合与常用逻辑用语、计数原理与概率统计、平面解析几何、平面向量、函数与导数、复数、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、数列
试卷题型(共 22题)
题型
数量
单选题
8
多选题
4
填空题
3
双空题
1
解答题
6
试卷难度
知识点分析
细目表分析 导出
题号 | 难度系数 | 详细知识点 |
一、单选题 | ||
1 | 0.85 | 交并补混合运算 |
2 | 0.65 | 计算古典概型问题的概率 |
3 | 0.65 | 判断命题的真假 |
4 | 0.85 | 根据椭圆方程求a、b、c |
5 | 0.85 | 数量积的运算律 向量夹角的计算 向量模的坐标表示 |
6 | 0.65 | 求指定项的系数 |
7 | 0.65 | 直线的点斜式方程及辨析 过圆外一点的圆的切线方程 根据抛物线上的点求标准方程 |
8 | 0.65 | 用导数判断或证明已知函数的单调性 利用导数证明不等式 |
二、多选题 | ||
9 | 0.65 | 求曲线切线的斜率(倾斜角) 利用导数求函数的单调区间(不含参) 求函数零点或方程根的个数 |
10 | 0.85 | 复数的相等 求复数的模 复数代数形式的乘法运算 |
11 | 0.85 | 正棱柱及其有关计算 面面平行证明线线平行 线面垂直证明线线垂直 |
12 | 0.4 | 函数的周期性的定义与求解 用导数判断或证明已知函数的单调性 求含sinx(型)函数的值域和最值 求含sinx的函数的最小正周期 |
三、填空题 | ||
13 | 0.65 | 台体体积的有关计算 |
15 | 0.85 | 由正弦(型)函数的奇偶性求参数 由正弦(型)函数的周期性求值 |
16 | 0.4 | 正态分布的实际应用 |
四、双空题 | ||
14 | 0.65 | 用和、差角的正切公式化简、求值 直线斜率的定义 |
五、解答题 | ||
17 | 0.4 | 由递推关系证明等比数列 构造法求数列通项 |
18 | 0.65 | 余弦定理解三角形 几何图形中的计算 |
19 | 0.65 | 利用对立事件的概率公式求概率 写出简单离散型随机变量分布列 求离散型随机变量的均值 |
20 | 0.15 | 立体几何新定义 |
21 | 0.65 | 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 双曲线中的通径问题 双曲线中的定值问题 |
22 | 0.4 | 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 |