【推荐1】已知点，分别是椭圆的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点（都不同于点），线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.

【推荐2】已知为椭圆的左、右焦点，点在上.有以下三个条件：①；②点的坐标为；③且.
（1）从三个条件中任意选择两个，求的方程；
（2）在（1）的条件下，过点的直线与交于，两点，关于坐标原点的对称点为，求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆的右焦点为，且是椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.

【推荐1】设点、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为．

(1)求椭圆的方程；
(2)求椭圆的外切矩形的面积的最大值．

【推荐2】已知，是椭圆的左右焦点，且椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，当直线过时周长为8.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，是否存在定圆，使得动直线与之相切，若存在写出圆的方程，并求出的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知定点，动点与、两点连线的斜率之积为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点是轨迹上的动点，点在直线上，且满足（其中为坐标原点），求面积的最小值.

【推荐1】已知椭圆的离心率为，设的右焦点为，左顶点为，过的直线与于两点，当直线垂直于轴时，的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)连接和分别交圆于两点．
（ⅰ）当直线斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；
（ⅱ）设的面积为的面积为，求的最大值．

【推荐2】椭圆：的离心率为，右顶点为，下顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆与直线相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点.试探究，两点的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.

【推荐3】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．

步骤1：设圆心为E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为6的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸．
(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点，使得直线TM，TN的斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．