2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组
，
，
，
，
得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：
（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；
（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.
，，，，得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；
（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.
更新时间：2020-05-13 16:06:28
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐1】某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间
内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按
，
，
，
，
分组，整理如下图：
(1)写出频率分布直方图（图乙）中
的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为
，
，试比较与的大小（只需写出结论）；
(2)从甲种酸奶日销售量在区间
的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为
，求的分布列；
(3)估计1200个日销售量数据中，数据在区间中的个数．
内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按，，，，分组，整理如下图：(1)写出频率分布直方图（图乙）中
的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；(2)从甲种酸奶日销售量在区间
的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为，求的分布列；(3)估计1200个日销售量数据中，数据在区间
中的个数．
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中，a，b，c构成以2为公比的等比数列.
（1）求a，b，c的值；
（2）填写上面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：
，其中
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 6 | ||
不获奖 | |||
合计 | 400 |
（2）填写上面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：
，其中
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解答题-应用题
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适中
(0.65)
名校
【推荐3】随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以
（单位：吨，
）表示下一个销售季度的市场需求量，
（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求
；
（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如
，则取
的概率等于市场需求量落入
的频率），求的分布列及数学期望
．
（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视
分布在各区间内的频率为相应的概率，求；（Ⅱ）将
表示为的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如
，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．
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解答题-证明题
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适中
(0.65)
名校
【推荐1】“五一”期间，甲乙两个商场分别开展促销活动.
（Ⅰ）甲商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖一次，从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球，中奖情况如下表：
记为抽奖一次获得的奖金，求的分布列和期望.
（Ⅱ）乙商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖10次.其中，第
次抽奖方法是：从编号为
的袋中（装有大小、形状相同的个白球和个黑球）摸出个球，若该次摸出的个球颜色都相同，则可获得奖金
元；记第次获奖概率
.设各次摸奖的结果互不影响，最终所获得的总奖金为10次奖金之和.
①求证：
；
②若某顾客购买120元的商品，不考虑其它因素，从获得奖金的期望分析，他应该选择哪一家商场？
（Ⅰ）甲商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖一次，从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球，中奖情况如下表：
| 摸出的结果 | 获得奖金（单位：元） |
| 4个白球或4个黑球 | 200 |
| 3个白球1个黑球或3个黑球1个白球 | 20 |
| 2个黑球2个白球 | 10 |
记
为抽奖一次获得的奖金，求的分布列和期望.（Ⅱ）乙商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖10次.其中，第
次抽奖方法是：从编号为的袋中（装有大小、形状相同的个白球和个黑球）摸出个球，若该次摸出的个球颜色都相同，则可获得奖金元；记第次获奖概率.设各次摸奖的结果互不影响，最终所获得的总奖金为10次奖金之和.①求证：
；②若某顾客购买120元的商品，不考虑其它因素，从获得奖金的期望分析，他应该选择哪一家商场？
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解答题-问答题
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适中
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【推荐2】2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.
(1)若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；
(2)若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为
，男球迷选择德国队的概率为
，记
为三人中选择德国队的人数，求的分布列和数学期望.
(1)若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；
(2)若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为
，男球迷选择德国队的概率为，记为三人中选择德国队的人数，求的分布列和数学期望.
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解答题-应用题
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适中
(0.65)
名校
【推荐3】单板滑雪
型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪型池世界杯分站比赛成绩如下表：
假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．
（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；
（2）从上表5站中任意选取2站，用表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的分布列和数学期望；
（3）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由．
（注：方差
，其中
为
，
，…，
的平均数）
型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪型池世界杯分站比赛成绩如下表：| 分站 | 运动员甲的三次滑行成绩 | 运动员乙的三次滑行成绩 | ||||
| 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | |
| 第1站 | 80.20 | 86.20 | 84.03 | 80.11 | 88.40 | 0 |
| 第2站 | 92.80 | 82.13 | 86.31 | 79.32 | 81.22 | 88.60 |
| 第3站 | 79.10 | 0 | 87.50 | 89.10 | 75.36 | 87.10 |
| 第4站 | 84.02 | 89.50 | 86.71 | 75.13 | 88.20 | 81.01 |
| 第5站 | 80.02 | 79.36 | 86.00 | 85.40 | 87.04 | 87.70 |
（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；
（2）从上表5站中任意选取2站，用
表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的分布列和数学期望；（3）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪
型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由．（注：方差
，其中为，，…，的平均数）
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