【推荐1】已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.

【推荐2】如图，中心在原点的椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，焦距为 ， 为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过的直线与椭圆交于 ， 两个不同点，使以 为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左右焦点分别为，，椭圆右顶点为，点在圆：上.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）点在椭圆上，且位于第四象限，点在圆上，且位于第一象限，已知，求直线的斜率.

【推荐1】已知点是椭圆上的点，点的坐标为，直线上的任意一点满足（为坐标原点）．
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）设的右焦点为，过点作的垂线交直线于点，证明在定圆上．

【推荐2】已知椭圆的离心率，左焦点为，右焦点为，且椭圆上一动点M到的最远距离为，过的直线l与椭圆C交于A，B两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点,
F₁、F₂为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F₁作∠F₁PF₂的外角
平分线的垂线F₁M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．
（1）求M点的轨迹T的方程；
（2）已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．