已知集合,定义上两点,
的距离.
(1)当时,以下命题正确的有__________(不需证明):
①若,,则;
②在中,若,则;
③在中,若,则;
(2)当时,证明中任意三点满足关系;
(3)当时,设,,,其中,
.求满足点的个数,并证明从这个点中任取11个点,其中必存在4个点,它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.
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②在中,若,则;
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.求满足点的个数,并证明从这个点中任取11个点,其中必存在4个点,它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.
更新时间:2020-11-14 23:22:58
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【推荐1】已知四棱锥中,底面为等腰梯形,如,,,丄底面.
(1)证明:平面平面;
(2)过的平面交于点,若平面把四棱锥分成体积相等的两部分,求三棱锥的体积.
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【推荐2】如图,在四棱锥中,底面,,.
(1)求证:平面平面;
(2)试在棱上确定一点,使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为;
(3)在(2)的条件下,求二面角的余弦值.
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【推荐3】我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵;将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马;将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào].某学校科学小组为了节约材料,拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室,是边长为2的正方形.
(1)若是等腰三角形,在图2的网格中(每个小方格都是边长为1的正方形)画出堑堵的三视图;
(2)若,在上,证明:,并回答四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;
(3)当阳马的体积最大时,求点到平面的距离.
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【推荐1】已知:a≥2,x∈R.求证:|x-1+a|+|x-a|≥3.
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【推荐2】记数列的前项和为,已知数列满足.
(1)若数列为等比数列,求的值;
(2)证明:.
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【推荐1】人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的,以后人们又认为地球是个圆球.17世纪,牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论,这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实,之前中国就曾进行了大规模的弧度测量,发现纬度越高,每度子午线弧长越长的事实,这同地球两极略扁,赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体,椭球体的表面为椭球面,在空间直角坐标系下,椭球面,这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内,其中按其大小,分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点,过点分别作椭圆的切线,两切线交于点,求面积的最小值.
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当时,椭球面围成的椭球是一个旋转体,类比计算球的体积的方法,运用祖暅原理求该椭球的体积.
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【推荐2】蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一,如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥,,,再分别以,,为轴将,,分别向上翻转,使,,三点重合为点所围成的曲顶多面体(下底面开口),如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画,定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和,而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角,用弧度制表示).
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度;
(2)若正六棱柱的侧面积一定,当蜂房表面积最小时,求其顶点的曲率的余弦值.
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【推荐3】设P为多面体M的一个顶点,定义多面体M在点P处的离散曲率为,其中Qi(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点,且平面Q1PQ2,平面Q2PQ3,…,平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面.
(1)如图1,已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD,AB=BC=1,,点P为底面A1B1C1D1内的一个动点,则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值;
(2)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果,所谓三角剖分,就是先在面部取若干采样点,然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格.区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域?(确定“区域α”还是“区域β”)
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解题方法
【推荐1】在平面直角坐标系xOy中,定义,两点间的“直角距离”为 .
(1)填空:(直接写出结论)
①若, 则 ;
②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ;
③记到M(-1,0),N(1,0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G,则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ;
(2)设点A(1,0), 点B是直线 上的动点,求ρ(A,B)的最小值及取得最小值时点B的坐标;
(3)对平面上给定的两个不同的点,,是否存在点C(x,y), 同时满足下列两个条件:
①;
②
若存在,求出所有符合条件的点的集合;若不存在,请说明理由.
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【推荐3】在平面直角坐标系内,对于任意两点,定义它们之间的“曼哈顿距离”为.
(1)求线段上一点到原点的“曼哈顿距离”;
(2)求所有到定点的“曼哈顿距离”均为的动点围成的图形的周长;
(3)众所周知,对于“欧几里得距离”,有如下三个正确的结论:
①对于平面上任意三点,都有;
②对于平面上不在同一直线上的任意三点,若,则是以为直角的直角三角形;
③对于平面上两个不同的定点,若动点满足,则动点的轨迹是线段的垂直平分线;
上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确?说明理由.
(1)求线段上一点到原点的“曼哈顿距离”;
(2)求所有到定点的“曼哈顿距离”均为的动点围成的图形的周长;
(3)众所周知,对于“欧几里得距离”,有如下三个正确的结论:
①对于平面上任意三点,都有;
②对于平面上不在同一直线上的任意三点,若,则是以为直角的直角三角形;
③对于平面上两个不同的定点,若动点满足,则动点的轨迹是线段的垂直平分线;
上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确?说明理由.
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