已知无穷数列
的首项为
，其前
项和为
，且
（
），其中
为常数且
．
（1）设
，求数列的通项公式，并求
的值；
（2）设
，
，是否存在正整数
使得数列
中的项
成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数
且
，使得
．
的首项为，其前项和为，且（），其中为常数且．（1）设
，求数列的通项公式，并求的值；（2）设
，，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由．（3）求证：数列
中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得．
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更新时间：2020-12-23 20:44:26
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名校
解题方法
【推荐1】已知数列
，
，…，
的各项均为正整数．设集合，
记
的元素个数为
．
(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；
(2)若
是递增数列，求证：“
”的充要条件是“为等差数列”；
(3)若
，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．(1)若数列
1，1，3，2，求集合，并写出的值；(2)若
是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；(3)若
，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
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解题方法
【推荐2】设X，Y为任意集合，映射
．定义：对任意
，若
，则
，此时的
为单射．
(1)试在
上给出一个非单射的映射；
(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合
与映射
，若对任意
，有
，则
；
(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射
，使对任意
，有
．
．定义：对任意，若，则，此时的为单射．(1)试在
上给出一个非单射的映射；(2)证明：
是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；(3)证明：
是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．
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＝pn+q（p，q为常数），其中
的充要条件是p=
.
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【推荐1】已知无穷等比数列
，公比
满足
，
，求实数的取值范围.
，公比满足，，求实数的取值范围.
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(0.4)
名校
【推荐2】（1）若对任意的
，总有
成立，求常数
的值；
（2）在数列中，
，求通项
；
（3）在（2）的条件下，设
，从数列
中依次取出第
项，第
项，
第
项，按原来的顺序组成新数列
，其中
试问是否存在正整数
，使得
且
成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
，总有成立，求常数的值；（2）在数列
中，，求通项；（3）在（2）的条件下，设
，从数列中依次取出第项，第项，第项，按原来的顺序组成新数列，其中试问是否存在正整数，使得且成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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，且对任意的
，
、
、
构成
为公差的等差数列.
、
、
成等比数列；
，试问当
时，数列
是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.
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名校
解题方法
【推荐1】已知各项都是正数的数列
的前项和为，
，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列
满足：
，
，数列
的前项和
，求证：
；
（3）若
对任意恒成立，求
的取值范围.
的前项和为，，（1）求数列
的通项公式；（2）设数列
满足：，，数列的前项和，求证：；（3）若
对任意恒成立，求的取值范围.
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【推荐2】已知等差数列的首项
，公差
．
(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？
(2)当n为何值时，
最小？
的首项，公差．(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？
(2)当n为何值时，
最小？
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，
，
，
.
求数列
项和
.
【推荐1】已知等差数列为递增数列，且
，
都在
的图像上.
(1)求数列的通项公式和前项和
(2)设
，求数列的前项和，且
，求取值范围.
为递增数列，且，都在的图像上.(1)求数列
的通项公式和前项和(2)设
，求数列的前项和，且，求取值范围.
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解题方法
【推荐2】设
是定义在
上的函数，若对任何实数
以及
、
恒有
成立，则称为定义在上的下凸函数．
(1)试判断函数
，
是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；
(2)若
是下凸函数，求实数
的取值范围；
(3)已知是
上的下凸函数，是给定的正整数，设
，
，记
，对于满足条件的任意函数，试求
的最大值．
是定义在上的函数，若对任何实数以及、恒有成立，则称为定义在上的下凸函数．(1)试判断函数
，是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；(2)若
是下凸函数，求实数的取值范围；(3)已知
是上的下凸函数，是给定的正整数，设，，记，对于满足条件的任意函数，试求的最大值．
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，判断
（
是正整数），那么是否存在
为“完全平方数列”？若存在，求出
