【推荐1】记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对于任意正整数，．

【推荐2】已知定义在上的函数，对任意实数，都有，且
（1）若对任意正整数，有，求、的值，并证明为等比数列；
（2）设对任意正整数，有，若不等式对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围

【推荐3】定义：若无穷数列满足是公比为q的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，，.
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数m，n，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由.

【推荐1】数列满足且，记.
(1)求、、、的值；
(2)求数列的通项公式及数列的前n项和.

【推荐2】已知数列满足，，求数列的通项公式．

【推荐3】为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分．学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为，且每次答题结果互不影响．
(1)求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率；
(2)设学生甲第次答题所得分数的数学期望为．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）；
（ⅲ）若，求的最小值．