题型：解答题-证明题
难度：0.4
引用次数：1251
题号：12519870
在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.
（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（2）已知n，r为正整数，且
，求证：任何四个相邻的组合数
,不能构成等差数列.
（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（2）已知n，r为正整数，且
，求证：任何四个相邻的组合数,不能构成等差数列.
更新时间：2021-03-14 19:44:53
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解题方法
【推荐1】设
是各项均不相等的数列，
为它的前
项和，满足
.
(1)若
，且
成等差数列，求
的值；
(2)若的各项均不相等，问当且仅当为何值时，
成等差数列？试说明理由.
是各项均不相等的数列，为它的前项和，满足.(1)若
，且成等差数列，求的值；(2)若
的各项均不相等，问当且仅当为何值时， 成等差数列？试说明理由.
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【推荐2】设自然数
，有
个实数，排成下面的方阵：
；
；
……………………
．
已知每一行个数都构成以1为首项的等差数列，第
行等差数列的公差为
．
(1)若
，试判断
的关系；
(2)若最后一列个数
构成等差数列，若存在的多项式
使得
成立，试探求
与
的关系？
，有个实数，排成下面的方阵：；；……………………
．已知每一行
个数都构成以1为首项的等差数列，第行等差数列的公差为．(1)若
，试判断的关系；(2)若最后一列
个数构成等差数列，若存在的多项式使得成立，试探求与的关系？
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.
为等比数列；
满足
，是否存在实数
（其中
），若
、
、
三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组
.
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【推荐1】若函数
的定义域、值域都是有限集合
，
，则定义为集合A上的有限完整函数.已知
是定义在有限集合
上的有限完整函数.
(1)求
的最大值；
(2)当
时，均有
，求满足条件的的个数；
(3)对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：
，对
，且
，
.若
，
，
，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.(1)求
的最大值；(2)当
时，均有，求满足条件的的个数；(3)对于集合M上的有限完整函数
，定义“闭环函数”如下：，对，且，.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
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【推荐2】设
，记
.
（1）求；
（2）记
，求证：
恒成立.
，记.（1）求
；（2）记
，求证：恒成立.
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【推荐1】已知整数
,集合
的所有3个元素的子集记为
(1)当
时,求集合中所有元素之和.
(2)设
为
中的最小元素,设
,试求
,集合的所有3个元素的子集记为(1)当
时,求集合中所有元素之和.(2)设
为中的最小元素,设,试求
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【推荐2】已知
.
（1）当
时，求
的展开式中含
项的系数；
（2）证明：的展开式中含
项的系数为
；
（3）定义：
，化简：
.
.（1）当
时，求的展开式中含项的系数；（2）证明：
的展开式中含项的系数为；（3）定义：
，化简：.
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【推荐1】十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为
，2表示为
，3表示为
，5表示为
，发现若
可表示为二进制表达式
，则
，其中
，
或1（
）.
(1)记
，求证：
；(2)记
为整数的二进制表达式中的0的个数，如
，
.（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
（用数字作答）.
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【推荐2】 记
.
（1）求
的值；
（2）当
时，试猜想所有
的最大公约数，并证明.
.（1）求
的值；（2）当
时，试猜想所有的最大公约数，并证明.
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.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.
，并与
比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；
.
