【推荐1】已知数列满足，则______．

【推荐2】已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项积为T_n，若S_n+2T_n＝1，则数列中最接近2019的是第____项．

【推荐3】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，下图中第一行的称为三角形数，第二行的称为五边形数，则三角形数的第10项为__________，五边形数的第项为__________.

【推荐1】数列{a_n}满足：(其中[a_n]和{a_n}分别表示实数a_n的整数部分与小数部分)，则a₂₀₁₉=____________ .

【推荐2】若关于x的方程与的四个实根适当排列后，可构成一个首项为1的等比数列，则的值为__________．

【推荐3】对任意正实数，用表示的整数部分．则______．

【推荐1】如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，则第行第3个数字是________．（用含n的式子作答）

【推荐2】古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为___________.
   

【推荐3】如图，直线与相交于点，又直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，…，设点的横坐标构成数列，则= ______，数列的通项公式为________．