【推荐1】已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）.
(1)求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状；
(2)若，设不经过原点的直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），若，，恰好构成等比数列，求的值．

【推荐2】已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点,
F₁、F₂为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F₁作∠F₁PF₂的外角
平分线的垂线F₁M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．
（1）求M点的轨迹T的方程；
（2）已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

【推荐3】已知椭圆与直线l：有唯一的公共点M．
(1)当时，求点M的坐标；
(2)过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，
（i）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（ii）如果推广到一般椭圆，能得到什么相应的结论？（直接写出结论即可）

【推荐1】已知椭圆，左焦点为，上顶点为，直线BF与椭圆交于另一点Q，且，且点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，，M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点.证明：是等腰三角形.

【推荐2】已知椭圆的离心率，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)不过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆（）的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆上的焦点作两条相互垂直的弦，求的取值范围.

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值．

【推荐2】如图，已知是椭圆的左右焦点，椭圆的离心率为，直线过与椭圆交于两点，周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线也经过点且与椭圆交于两点，且l₁⊥l₂，

（i）求证：为定值，并求出该定值；
（ii）求四边形的面积取值范围

【推荐3】已知椭圆，其长轴为4，短轴为2．
（1）求椭圆C的方程及离心率．
（2）直线l经过定点(1,0)，且与椭圆C交于两点，求面积的最大值．

【推荐1】已知椭圆的一个焦点为，离心率，左，右顶点分别为A，B，经过点F的直线与椭圆交于C，D两点（与A，B不重合).
(1)求椭圆M的方程；
(2)记与的面积分别为和，求|的最大值.

【推荐2】已知椭圆经过点，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值．