【推荐1】椭圆的离心率为，焦距为，左，右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点是椭圆上第一象限的点，弦过椭圆的右焦点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点.若四边形是平行四边形，求弦所在直线的方程.

【推荐2】已知椭圆：的离心率，右顶点为，上顶点为，点，过点作一条与轴不重合的直线，直线交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，；当直线经过点时，的斜率为．

（1）求椭圆的方程；
（2）证明：点、的横坐标的乘积为定值．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，右焦点为，过原点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交椭圆于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：为定值，并求面积的最小值．

【推荐1】已知点为椭圆上一点，A、B分别为C的左、右顶点，且的面积为5．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l与C相交于点M，N（点M在x轴上方），与y轴分别交于点G，H，记分别为（点O为坐标原点）的面积，探索是否为定值并证明你的结论．

【推荐2】椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)A，B，P三点在椭圆C上，O为原点，设直线的斜率分别是，且，若，证明：.

【推荐3】已知平行四边形的三个顶点都在椭圆为坐标原点．
当点的坐标为时，求直线的方程；
证明：平行四边形的面积为定值．

【推荐1】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.
现取半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)已知点是圆上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标.
注：椭圆：上任意一点处的切线方程是：.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足．记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l不经过点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点，证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值.

【推荐3】已知椭圆，M为其短轴的一个端点，为其两个焦点，的面积为．
(1)求椭圆G的方程；
(2)直线l经过椭圆G的长轴上一点P（与顶点不重合），且与圆相切于点Q（与P不重合），交椭圆G于A，B两点．若，求直线l的方程．

【推荐1】椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．

【推荐2】如图所示，椭圆C：（a＞b＞0）上的点到焦点的最大距离为，最小距离为．

（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上的点A（A不在坐标轴上）的直线l与x，y轴的交点分别为M，N，且＝，过原点O的直线与l平行，且与C交于B，D两点，求△ABD面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆.
(1)椭圆的左右焦点为,,点在椭圆上运动，求的取值范围;
(2)倾斜角为锐角的直线过点交椭圆于，两点，且满足,求直线的方程.