【推荐1】在中，内角的对边分别为．
（1）求角的大小；
（2）设点是的中点，若，求的取值范围．

【推荐2】某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．

（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．
（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．
（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？

【推荐3】如图，在正三棱柱中，为的中点，点在上，，点在直线上，对于线段上异于两端点的任一点，恒有平面．
      
(1)求证：平面平面；
(2)当的面积取得最大值时，求二面角的余弦值．

【推荐1】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设不过原点的直线：与椭圆交于、两点，直线与的斜率分别为、，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

【推荐2】已知椭圆：过点，为椭圆的半焦距，且，过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，求的面积；
(3)若线段的中点在轴上，求直线的方程．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于P，Q两点，若的周长为8.
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线交椭圆于，两点，交轴于点．点是关于的对称点，的半径为．设为的中点，，与分别相切于点，，求的最小值.

【推荐2】如图,已知抛物线E:y²=4x与圆M:(x3)²+y²=r²(r>0)相交于A,B,C,D四个点.

(1)求r的取值范围;
(2)设四边形ABCD的面积为S,当S最大时,求直线AD与直线BC的交点P的坐标.

【推荐3】已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且其离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知、是椭圆上的两点，且满足，求面积的最大值.

【推荐1】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么样的曲线；
（2）设，是曲线上的两个动点，直线与交于点，.
①求证：点在定直线上；
②求证：直线与直线的斜率之积为定值.

【推荐2】已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆于两点，已知在点处切线相交于.
（1）求点的轨迹方程；
（2）①若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值.
②四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.