【推荐1】某工厂有一批材料被预定制作“阳马”（中国古代算数中的一种几何体，是底面为长方形，两个三角侧面与底面垂直的四棱锥体），材料是由底面为的正四棱柱被截面所截而得到的几何体，每一块材料制作一个“阳马”．材料的尺寸如图所示，，，．

（1）求通过此材料制作成的“阳马”中，最长的棱的长度；
（2）求平面与底面所夹锐角的余弦值．

【推荐2】如图，在五面体中，四边形是正方形，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.

【推荐3】如图， 平面，，， ，、分别为、的中点.

（1）求证：平面；
（2）求几何体的体积.

【推荐1】如图，AB是圆柱的母线，O′是上底面的圆心，△BCD是下底面圆的内接三角形，且BD是下底面圆的直径，E是CD的中点．

求证：（1）O′E//平面ABC；
（2）平面O′CD⊥平面ABC.

【推荐2】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，E是上的点.

   

(1)求证：平面平面；
(2)若E是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐3】如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．

(1)求证：平面CDM⊥平面OAD；
(2)点N是AB的中点，求OB与平面DMN的距离．

【推荐1】图1是矩形，，，M为的中点，将沿翻折，得到四棱锥，如图2．

（Ⅰ）若点N为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）若．求点A到平面的距离．

【推荐2】如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2，，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足为E．以AE为折痕把△ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90°（如图2）．

(1)求证：PE⊥CD；
(2)若点F在线段PC上，且二面角F－AD－C的大小为30°，求三棱锥F－ACD的体积．

【推荐3】如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，D为的中点，，且，平面平面.

(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.